Как найти общую напряженность двух разноименных зарядов

При решении задач с использованием понятия напряжённости электрического поля нужно прежде всего знать формулы (14.8) и (14.9), определяющие силу, действующую на заряд со стороны электрического поля, и напряжённость поля точечного заряда. Если поле создаётся несколькими зарядами, то для расчёта напряжённости в данной точке надо сделать рисунок и затем определить напряжённость как геометрическую сумму напряжённостей полей.

Задача 1. Два одинаковых положительных точечных заряда расположены на расстоянии r друг от друга в вакууме. Определите напряжённость электрического поля в точке, расположенной на одинаковом расстоянии r от этих зарядов.

Р е ш е н и е. Согласно принципу суперпозиции полей искомая напряжённость равна геометрической сумме напряжённостей полей, созданных каждым из зарядов (рис. 14.17): = 1 + 2 .

Диагональ параллелограмма, построенного на векторах 1 и 2 , есть напряжённость результирующего поля, модуль которой равен:

Задача 2. Проводящая сфера радиусом R = 0,2 м, несущая заряд q = 1,8 10 -4 Кл, находится в вакууме. Определите: 1) модуль напряжённости электрического поля на её поверхности; 2) модуль напряжённости 1 электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии r 1 = 10 м от центра сферы; 3) модуль напряжённости 0 в центре сферы.

Р е ш е н и е. Электрическое поле заряженной сферы вне её совпадает с полем точечного заряда. Поэтому

Следовательно,

Задача 3. В однородное электрическое поле напряжённостью Е 0 = 3 кН/Кл внесли точечный заряд q = 4 10 -10 Кл. Определите напряжённость электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии r = 3 см от точечного заряда. Отрезок, соединяющий заряд и точку А, перпендикулярен силовым линиям однородного электрического поля.

Р е ш е н и е. Согласно принципу суперпозиции напряжённость электрического поля в точке А равна векторной сумме напряжённостей однородного поля 0 и поля 1 , созданного в этой точке внесённым электрическим зарядом. На рисунке 14.18 показаны эти два вектора и их сумма. По условию задачи векторы 0 и 1 взаимно перпендикулярны. Напряжённость поля точечного заряда

Тогда напряжённость электрического поля в точке А равна:

Задача 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 3 см находятся три точечных заряда q 1 = q 2 = 10 -9 Кл, q 3 = -2 10 -9 Кл. Определите напряжённость электрического поля в центре треугольника в точке О.

Р е ш е н и е. Согласно принципу суперпозиции полей напряжённость поля в точке О равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных каждым зарядом в отдельности: 0 = 1 + 2 + 3 , причём где

На рисунке 14.19 показаны векторы напряжённостей 1 , 2 , 3 . Сначала сложим векторы 1 и 2 . Как видно из рисунка, угол между этими векторами равен 120°. Следовательно, модуль суммарного вектора равен модулю l 1 l и направлен в ту же сторону, что и вектор 3 .

Окончательно запишем:

Задача 5. Расстояние между двумя неподвижными зарядами q 1 = -2 X 10 -9 Кл и q 2 = 10 -9 Кл равно 1 м. В какой точке напряжённость электрического поля равна нулю?

http://xn--24-6kct3an.xn--p1ai/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10_%D0%BA%D0%BB_%D0%9C%D1%8F%D0%BA%D0%B8%D1%88%D0%B5%D0%B2/89.1.jpg"> 2 , созданных этими зарядами, направлены в одну сторону">

Р е ш е н и е. Очевидно, что на отрезке между зарядами напряжённость не может быть равна нулю, так как напряжённости полей 1 и 2 , созданных этими зарядами, направлены в одну сторону (рис. 14.20).

Следовательно, напряжённость поля может быть равна нулю или справа, или слева от зарядов на линии, проходящей через эти заряды.

Так как модуль первого заряда больше, чем модуль второго, то эта точка должна находиться ближе ко второму заряду, т. е. в нашем случае справа от зарядов. Расстояние от второго заряда до точки А обозначим через х. Тогда из условия, что |" 1 | = " 2 , можно записать:

Решая это уравнение, получаем

Окончательно

Задачи для самостоятельного решения

1. В направленном вертикально вниз однородном электрическом поле напряжённостью 1,3 10 5 Н/Кл капелька жидкости массой 2 10 -9 г оказалась в равновесии. Определите заряд капельки и число избыточных электронов на ней.

2. Точечный заряд q - 10 -9 Кл окружён сферической оболочкой из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2. Внешний и внутренний радиусы оболочки равны соответственно R 1 = 5 см, а R 2 = 6 см. Определите напряжённость Е(r) электрического поля в зависимости от расстояния от заряда и начертите график этой зависимости.

3. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R несут равномерно распределённые по их поверхностям заряды q 1 = +2q, q 2 = -q и q 3 = +q соответственно. Известно что точечный заряд q создаёт на расстоянии R электрическое поле напряжённостью Е 1 = 63 Н/Кл. Чему равна напряжённость поля в точке, отстоящей от центра сфер на расстоянии, равном 2,5R?

Образцы заданий ЕГЭ A1. Точка В находится в середине отрезка АС. Неподвижные точечные заряды -q и -2q расположены в точках А и С соответственно (см. рис.). Какой заряд надо поместить в точку С взамен заряда -2q, чтобы напряжённость электрического поля в точке В увеличилась в 2 раза? 1) -5q 2) 4q 3) -3q 4) 3q C2. Точечный заряд q, помещённый в начало координат, создаёт в точке А электростатическое поле напряжённостью Е A = 65 Н/Кл (см. рис.). Чему равна напряженность Е B в точке В? C3. В однородном электрическом поле, вектор напряжённости которого направлен вертикально вверх, висит шарик массой 10 г и зарядом 5 мКл. При выключении поля сила натяжения нити увеличивается в два раза. Определите напряжённость поля.

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК

ЧАСТЬ 3

Составитель: Л.А.Кузина, канд.физ.-мат.наук, доцент

Вологда

2011

1. Закон Кулона. Напряженность поля. Теорема Гаусса

Закон Кулона.

- определение напряженности поля;

,

- принцип суперпозиции;

- диэлектрическая проницаемость диэлектрика;

- напряженность поля точечного заряда;

,

,

- объемная, поверхностная, линейная плотности заряда;

- напряженность поля плоскости;

- напряженность поля конденсатора;

- напряженность поля нити (цилиндра при r >R , R – радиус цилиндра);

- вектор электрического смещения;

,

- поток вектора напряженности;

,

- поток вектора электрического смещения;

,

- теорема Гаусса.

^ Примеры решения задач

Задача 1

Определить напряжённость поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в середине стержня, на расстоянии 40 см от его середины. Длина стержня 60 см.

Решение

Разобьем стержень на бесконечно малые элементы dl=dy ; y – координата данного элемента. Заряд элемента dq= τdy можно считать точечным. Напряженность поля, созданного зарядом dq в точке А на расстоянии r от заряда, равна:

, (1)

где

; (2)

α – угол между перпендикуляром к стержню и радиус-вектором r элемента стержня, проведенным из точки А. Направление вектора напряженности см. на рис.1. Так как

,то

, то

. (3)

Найдем проекции dE на координатные оси:

;

, (4)

Наконец, проекции полной напряженности на оси рассчитываются интегрированием:

;

, (5)

Причем интегрирование производится по всей длине стержня. Здесь использован принцип суперпозиции в проекциях на оси. Полная напряженность вычисляется по теореме Пифагора:

. (6)

С учетом (1) – (4) получим из (5):

Постоянную величину

выносим за знак интеграла и проставим пределы интегрирования: угол α изменяется от (–α 0) до α 0 , где

. Далее, первообразная функция от

– это

, а от –

. Тогда

,

Окончательно получаем для напряженности:

,

.

Ответ: E =5.4 . 10 3 В/м.

Задача 2.

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ 1 =100 нКл/м и τ 2 =50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти напряженность электрического поля в точках, удаленных от оси цилиндров на расстояния 3 см, 9 см, 15 см.

Симметрия задачи позволяет воспользоваться теоремой Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью, деленной на (εε 0):

. (1)

Здесь α – угол между вектором и нормалью к поверхности в данной точке. Возьмем Гауссову поверхность в виде цилиндра, коаксиального данным, высота которого равна h , а радиус r . Вектор напряженности электростатического поля может быть направлен только перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, параллельно основаниям, (см. рис.2), тогда в левой части (1) надо учитывать только вклад через боковую поверхность цилиндра (для оснований α=90 0 , cosα=0), причем для боковой поверхности α=0, cosα=1. Кроме того, в силу симметрии значение напряженности в любой точке боковой поверхности Гауссова цилиндра одинаково, и значение Е можно вынести за знак интеграла. Тогда

, (2)

Где

– площадь боковой поверхности Гауссова цилиндра.

Теперь вычислим правую часть (1). При этом нужно рассмотреть 3 случая:

1) r 1
2) R 1
q=τ 1 h . (3)

Из (1) – (3) получим:

, откуда . Здесь сделана замена

.

3) R 2 q=(τ 1 +τ 2 )h , тогда

,

Ответ: E 1 =0; E 2 =10 4 В/м; E 3 =6 . 10 3 В/м.

2.Энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциал

- энергия взаимодействия точечных зарядов;

- определение потенциала;

- потенциал поля точечного заряда;

,

- принцип суперпозиции;

- потенциальная энергия системы точечных зарядов;

Работа поля по перемещению заряда;

,

,

- связь напряженности и потенциала.

Примеры решения задач

Задача 3.

Определить потенциал поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в одном из концов стержня, на расстоянии 40 см от него. Длина стержня 30 см.

Решение

Разобьем стержень на бесконечно малые элементы dl=dy ; y – координата данного элемента (рис.3). Заряд элемента dq= τdy можно считать точечным. Потенциал поля, созданного зарядом dq в точке А на расстоянии r от заряда, равен:

, (1)

Где
^

. (2)

По принципу суперпозиции полный потенциал

. (3)

Интегрирование ведется по всей длине стержня. Тогда

Здесь , константа

вынесена за знак интеграла и использовано, что первообразной функцией для функции

является

, в чем можно убедиться дифференцированием:

По формуле (4) вычисляем потенциал:

Ответ: φ=1250 В.

Задача 4.

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ 1 =100 нКл/м и τ 2 =50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти разность потенциалов цилиндров.

Решение

Воспользуемся результатами, полученными в задаче 2: напряженность электростатического поля между цилиндрами, при R 1 rR 2 , вычисленная по теореме Гаусса, равна:

. (1)

По формуле связи между напряженностью и потенциалом

, (2)

Где интеграл удобнее брать по силовой линии поля, так что , так как направление напряженности совпадает с направлением радиус-вектора и элемента длины контура интегрирования

, α=0. Подставив (1) в (2), получим:

,

.

Ответ: Δφ =624 В .

3. Поляризация диэлектриков. Диполь

- электрический дипольный момент;

- момент силы, действующий на диполь в электрическом поле;

,

- поляризованность (вектор поляризации) диэлектрика;

, где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика;

-вектор электрического смещения.

Примеры решения задач

Задача 5.

Напряженность поля воздушного конденсатора, заряженного и отключенного от источника, равна E 0 . В конденсатор параллельно обкладкам поместили пластину диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на гранях диэлектрика, выразить ее через поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора; найти напряженность поля в диэлектрике, а также напряженность поля, созданного только связанными зарядами; значение вектора электрического смещения и поляризованности диэлектрика.

Напряженность поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с напряженностью в вакууме в ε раз, поэтому

. (1)

Суммарное (полное) поле в диэлектрике складывается из поля свободных зарядов и связанных (индуцированных) :

, но и направлены противоположно (см. рис.4), поэтому E=E 0 –E′ ,

Напряженность поля связанных зарядов можно выразить через поверхностную плотность связанных зарядов (напряженность поля конденсатора):

, (3)

Тогда с учетом (2):

. (4)

Аналогично, напряженность поля только свободных зарядов

, тогда из (4):

. (5)

Вектор электрического смещения , поэтому

. (6)

Далее, так как

и векторы , и направлены одинаково, то:

Можно выполнить проверку (7): по определению вектор поляризации равен суммарному дипольному моменту единицы объема вещества:

, (8)

А дипольный момент пластины диэлектрика равен произведению связанного заряда, локализованного на одной из граней

, на плечо диполя – толщину пластины d , тогда

, (9)

Так как объем пластины ΔV =S . d . Из (4) и (9) получаем (7).

Ответ:

;

;

;

;

;

.

^

4. Проводники. Конденсаторы. Емкость проводника; конденсатора.

Заряженная частица в электрическом поле

,

- определение емкости проводника, конденсатора;

- емкость шара.

- связь между напряженностью поля и напряжением на конденсаторе.

- емкость плоского конденсатора;

- общая емкость при параллельном соединении конденсаторов;

- общая емкость при последовательном соединении конденсаторов

Энергия, приобретённая частицей в электрическом поле.

^ Примеры решения задач

Задача 6

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.

Решение

Общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов С 1 и С 2 можно: найти из формулы:

. Поэтому общая ёмкость батареи, состоящей из двух одинаковых конденсаторов ёмкостью С 0 (до заполнения одного из конденсаторов парафином) равна:

. После заполнения парафином одного из конденсаторов его ёмкость

, а до заполнения была равна

, то есть ёмкость возросла в ε раз:

. Найдём новую общую ёмкость батареи:

. Таким образом, изменение ёмкости батареи равно:

. Подставим численные значения:

.

Ответ:

.

5. Энергия электростатического поля. Плотность энергии поля

- энергия заряженного проводника;

- энергия заряженного конденсатора;

- связь между консервативной силой и потенциальной энергией;

- определение объемной плотности энергии поля;

- объемная плотность энергии электростатического поля.
^

Примеры решения задач

Задача 7.

Электрическое поле создано заряженной (Q =0.2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?

Решение:

Энергию поля, заключенную в сферическом слое, будем находить через объемную плотность энергии, равную по определению

, (1)

А для энергии электростатического поля

. (2)

Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r >R 0) такая же, как и напряженность поля точечного заряда, находящегося в центре сферы:

, (3)

Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме dV , равна:

. (4)

Поскольку поле сферически симметрично, в качестве dV следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r , внешним радиусом (r +dr ), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя можно найти, перемножив площадь сферы на его толщину, так как слой тонкий:

. (5)

Наконец, искомую энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R 0 rR:

,

Ответ: W =2.4 мДж.

6. Электрический ток. Законы Ома и Кирхгофа

- определение силы тока;

- заряд, прошедший через сечение проводника;

- определение плотности тока;

- плотность тока при направленном движении заряженных частиц;

- закон Ома в локальной форме;

- связь удельной электропроводимости и удельного сопротивления;

- сопротивление проводника;

- общее сопротивление при последовательном соединении;

- общее сопротивление при параллельном соединении;

- закон Ома для однородного участка цепи;

- напряжение на неоднородном участке цепи;

- определение электродвижущей силы;

- закон Ома для замкнутой цепи;

- первое правило Кирхгофа (для узла);

- второе правило Кирхгофа (для замкнутого контура).

- зависимость сопротивления металла от температуры.

^ Примеры решения задач

Задача 8.

Определить силу тока в сопротивлении R 3 и напряжение на концах этого сопротивления (рис.10). Е 1 =1 В, Е 2 =5 В, R 1 =1 Ом, R 2 =2 Ом, R 3 =3 Ом.

Решение:

Для решения задачи используем правила Кирхгофа. В первую очередь выберем направления токов во всех ветвях цепи (в данной задаче их три) и проставим обозначения токов (см. рис.11). В цепи два узла (b и e), следовательно, по первому правилу должно быть записано одно уравнение (на одно меньше, чем количество узлов):

– алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это правило для узла b:

I 1 –I 2 +I 3 =0, (1)

Причем токи, заходящие в узел, берем с положительным знаком, выходящие – с отрицательным.

По второму правилу Кирхгофа записываем два оставшихся уравнения (всего уравнений столько же, сколько токов):

– алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме электродвижущих сил. Здесь также нужно соблюдать правила знаков: если направление обхода контура на данном участке противоположно направлению тока, то падение напряжения берем с отрицательным знаком; если ЭДС проходим от плюса к минусу, то берем ее с отрицательным знаком.


- определение удельной тепловой мощности тока;

- закон Джоуля-Ленца в локальной форме.

^ Примеры решения задач

Задача 9.

Сила тока в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от максимального значения до нуля за 10 с. Какое количество теплоты выделится в этом проводнике за указанный промежуток времени, если при этом по проводнику прошел заряд 50 Кл?

Решение:

Запишем закон, по которому изменяется со временем сила тока в проводнике. Ток убывает равномерно, то есть по линейному закону, от максимального значения I 0 , тогда:

I =I 0 –kt , (1)

Где

– быстрота убывания тока:

Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф, В.М. Яворский. - М.: Высш.шк., 1989.- 608 с.

Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. Т. 1 / под ред. В.Н.Лозовского. – СПб.: Лань, 2000. – 576 с.

Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова.-М.: Высш. шк., 1999.-542 с.

Требования к оформлению и общие методические указания………….……

1. Закон Кулона Напряженность поля. Теорема Гаусса …………………..….

2. Энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциал…………..………

3. Поляризация диэлектриков. Диполь….………………..………………..…..

4. Проводники. Конденсаторы. Ёмкость проводника; конденсатора. Заряженная частица в электрическом поле…………………………..……..

5. Энергия электростатического поля. Плотность энергии поля ……..……..

6. Электрический ток. Законы Ома и Кирхгофа………………………..……..

7. Закон Джоуля-Ленца…………..……………………………………………..

8. Ток в жидкости и газе. Термоэлектронная эмиссия…………………..........

Библиографический список…………………….…………………………..…..

Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется через электрическое поле, которое называется электростатическим.

Электростатическое поле считается полностью задано, если известна его напряжённость в любой точке.

Напряжённость электростатического поля – ВФВ, являющаяся силовой характеристикой электрического поля и численно равная силе, действующей на единичный, положительный точечный заряд, помещённый в данную точку поля, и направленная так же, как и сила, приложенная к положительному точечному заряду:

Единицы измерения напряженности [E] = B/м = Н/Кл.

, (2.2)

где Q – заряд, создающий поле,

r – расстояние от заряда до заданной точки.

Если поле задано системой зарядов, то для него справедлив принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей: напряжённость результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряжённостей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

. (2.3)

Из формулы (2.1) следует:

,

Если вносимый в поле напряженностьюзарядq > 0, то направление силы , действующей на него, и напряженностисовпадают, а еслиq 0, то сила направлена в сторону, противоположную(рис. 9).

Графически электростатическое поле изображают с помощью силовых линий.

Силовые линии напряжённости – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Линии напряжённости никогда не пересекаются.

Г

устота линий пропорциональна модулю вектора напряжённости, направление линий принятоот положительного заряда к отрицательному (рис. 10, а).

Простейшим электростатическим полем является однородное поле – поле, в любой точке которого вектор одинаков и по модулю и по направлению (рис. 10, б). Однородным является поле равномерно заряженной плоскости, двух плоскостей (рис. 10, в).

1

. Определить направление напряженности поля двух точечных зарядов в точке А, равноудаленной от них (| q 1 | = |q 2 |).

2

. На каком из рисунков напряженность результирующего поляв точке А направлена вертикально вверх, если расстояние между зарядами одинаково (| q 1 | = | q 2 | )?

3

. На каком из рисунков заряженная пылинка массойm может находиться в равновесии?

4. Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными плоскостями (|σ 1 | = |σ 2 |). В каком случае напряженность электростатического поля в точке А равна нулю? Выполнить построения и объяснить.

5



. Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными полыми цилиндрами. Определить направления напряженности результирующего поля в точках А, В, С.

6. Поле создано равномерно заряженными концентрическими и пересекающимися сферами. Определить направление напряженности результирующего поля в точках А, В, С.

2.2. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского – Гаусса

Линии напряженности электростатического поля проводятся так, что их густота через единичную перпендикулярную площадку пропорциональна модулю вектора .

Тогда для элементарной площадки

, через которую проходят линии напряженности, можно ввести такую характеристику, какпоток вектора напряжённости электростатического поля

– СФВ, характеризующая интенсивность электростатического поля и численно равная скалярному произведению векторов и

:

где α – угол между положительной нормалью к площадке и вектором напряженности(рис. 11).

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора напряжённости через эту поверхность

Единицы измерения потока [Ф] = В∙м.

В зависимости от угла α , поток может быть:

максимальный (Ф = max ), если α = 0;

положительный (Ф > 0), если 0 α

равен нулю (Ф = 0), если α = 90º;

отрицательный (Ф α

Принято считать поток вектора, выходящий из поверхности, положительным, а входящий – отрицательным (рис. 12, а).Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь неё равен 0, так как число линий напряжённости, входящих в поверхность, равно числу линий, выходящих из неё. (рис. 12, б).

Теорема Остроградского – Гаусса определяет Ф Е через любую замкнутую поверхность и применяется для расчета напряженности электростатического поля в случае большого количества зарядов, обладающих симметрией.

Теорема Остроградского - Гаусса : поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охваченных этой поверхностью, к ε ε 0 :

. (2.4)

Если заряженное тело находится в вакууме или в воздухе, диэлектрическая проницаемость которых ε = 1, то в дальнейших выводах мы ее опускаем.

Методика расчёта полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса приводится в разделе 2.2.2.

Задачи данного параграфа посвящены нахождению напряжённости электростатического поля, причем используемые методы расчёта зависят от того, как распределены заряды, создающие поле.

Основные типы задач этого раздела :

поле образовано одним или несколькими точечными зарядами (раздел 2.2.1);

поле создано заряженными: бесконечно длинным цилиндром (нитью), бесконечной плоскостью, сферой, шаром (раздел 2.2.2);

поле создано заряженным телом простой формы, не являющимся бесконечно цилиндром (нитью), бесконечной плоскостью, сферой, шаром (раздел 2.2.3).

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ.

НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

1.Электрическое поле.

Каким образом взаимодействуют два заряженных тела, находящихся на некотором расстоянии друг от друга?

Великий английский физик Майкл Фарадей в 30-х годах 19 в. предположил, то любое заряженное тело создаёт вокруг себя электрическое поле во всём окружающем его объёме. Именно посредством этого поля и происходит взаимодействие, т.е. поле, созданное одним зарядом, действует на другой заряд, и наоборот. Впоследствии эта гипотеза была подтверждена Джеймсом Максвеллом.

Электрическое поле можно рассматривать как некоторое пространство , в каждой точке которого на заряженное тело действует сила .

Электрическое поле – это особый вид материи, окружающий заряженные тела, посредством которого осуществляется взаимодействие зарядов .

Другими словами, электрическое поле порождается зарядами и действует на заряды.

Электрическое поле непрерывно в пространстве .

Так как поле действует на заряды , то характеризуют его именно по воздействию на заряд. В электрическое поле вносится пробный заряд .

Пробным зарядом называется точечный заряд, малый по величине (чтобы не искажать своим полем исследуемое поле) и положительный по знаку (так договорились).

Если в одну и ту же точку электрического поля (на рисунке оно создаётся точечным зарядом Q) вносить различные по величине пробные заряды q, то оказывается, что сила, действующая на эти заряды, пропорциональна величине этих зарядов. Значит, отношение силы, действующей на заряд, внесённый в данную точку электрического поля, к величине этого заряда всегда имеет одно и то же значение, не зависящее от величины пробного заряда.

Поэтому это отношение приняли за характеристику электрического поля в данной точке и назвали напряжённостью электрического поля.

Напряжённость электрического поля в данной точке – это векторная физическая величина, модуль которой равен отношению силы, действующей на пробный заряд, внесённый в данную точку, к величине этого заряда. Направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы .

Определение напряжённости можно сформулировать и по-другому.

Напряжённость электрического поля в данной точке – это векторная физическая величина, модуль которой численно равен силе, действующей на единичный пробный заряд в данной точке поля, а направление совпадает с направлением силы .

Единица измерения напряжённости [ E ]=1Н/Кл.

Модуль напряжённости поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него, по определению – это отношение силы, действующей на внесённый пробный заряд q к величине этого заряда. Заметим, что сила, действующая на внесённый заряд, – это сила кулоновского взаимодействия двух зарядов – Q и q, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Таким образом, модуль напряжённости поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него равен

Направление вектора напряжённости совпадает, как уже говорилось, с направлением силы, действующей на внесённый пробный заряд q.

На рисунке показан график зависимости напряжённости поля точечного заряда от расстояния.

За пределами шара модуль и направление напряжённости определяется так же, как и в случае точечного заряда , но под r здесь подразумевается расстояние от центра шара до точки, в которой рассчитывается напряжённость, т.е. r = R + h , где R – радиус шара, а h – расстояние от поверхности шара до точки.

На поверхности шара напряжённость

Внутри шара напряжённость равна нулю Е=0 .

График зависимости напряжённости поля заряженного шара (сферы) от расстояния показан на рисунке.

5.Принцип суперпозиции.

Если поле создано несколькими заряженными телами, то рассчитать его напряжённость в некоторой точке помогает принцип суперпозиции , суть которого состоит в следующем.

Допустим, поле создано двумя точечными зарядами – положительным Q 1 и отрицательным Q 2 . Требуется найти напряжённость в точке, находящейся на расстоянии r 1 и r 2 от первого и второго зарядов соответственно.

Модули напряжённостей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности и. Для определения направления векторов напряжённостеймысленно внесём в эту точку пробный заряд q (положительный). Направление векторов напряжённости исовпадает с направлением сил, действующих на пробный заряд со стороны зарядовQ 1 и Q 2 . Эти векторы складываем по правилу параллелограмма. Полученный в результате сложения вектор – это и есть вектор напряжённости электрического поля в данной точке.

Принцип суперпозиции можно сформулировать следующим образом.

Напряжённость поля, созданного системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных в данной точке каждым зарядом в отдельности.

6.Линии напряжённости.

Графически электрическое поле изображается с помощью линий напряжённости .

Линии напряжённости строятся так, что в каждой точке направление касательной к линии напряжённости совпадает с направлением вектора напряжённости в этой точке .

Таким образом, зная как проходит линия напряжённости через какую-либо точку поля и проведя к ней касательную, можно определить направление вектора напряжённости в этой точке.

Линии напряжённости электрического поля обладают следующими свойствами.

1.Линии одного и того же поля нигде не пересекаются.

2.Линии начинаются на положительных зарядах или приходят из бесконечности, а заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность, т.е. не являются замкнутыми.

3.Линии нигде в пространстве не прерываются.

4.Плотность (густота) линий пропорциональна величине напряжённости поля в данной области.

Примеры графического изображения электрических полей точечных положительного и отрицательного зарядов и двух разноимённых точечных зарядов.

7.Однородное поле.

Электрическое поле называется однородным, если в каждой его точке вектор напряжённости имеет одно и то же значение и направление .

Графически такое поле изображается параллельными линиями напряжённости, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии.

Примерами однородных полей являются поля, созданные бесконечными заряженными плоскостями.

Если эти две плоскости сблизим и применим принцип суперпозиции, то окажется, что линии напряжённости между плоскостями направлены в одну сторону и, следовательно, напряжённость поля увеличивается, а справа и слева от плоскостей линии напряжённости направлены в разные стороны и, следовательно, напряжённость поля уменьшается.

Если заряды плоскостей по модулю одинаковы, то напряжённость поля справа и слева от плоскостей вообще будет равна нулю.