Расчет тонкостенных сосудов

Помощь он-лайн только по предварительной записи

Задача 1

Определить разность уровней пьезометров h .

Система находится в равновесии.

Соотношение площадей поршней равно 3. H = 0,9 м.

Жидкость вода.

Задача 1.3

Определить разность уровней h в пьезометрах при равновесии поршней мультипликатора, если D /d = 5, H = 3,3 м. Построить график h = f (D /d ), если D /d = 1,5 ÷ 5.

Задача 1 . 5

Тонкостенный сосуд, состоящий из двух цилиндров диаметрами d = 100 мм и D = 500 мм, нижним открытым концом опущен под уровень воды в резервуаре А и покоится на опорах С, расположенных на высоте b = 0,5 м над этим уровнем.

Определить величину силы, воспринимаемой опорами, если в сосуде создан вакуум, обусловивший поднятия воды в нем на высоту a + b = 0,7 м. Собственная вес сосуда G = 300 Н. Как влияет на результат изменение диаметра d ?

Задача 1.7

Определить абсолютное давление воздуха в сосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, высота H = 1 м. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 . Атмосферное давление p атм = 736 мм рт. ст.

Задача 1.9

Определить давление над поршнем p 01 , если известны: усилия на поршни P 1 = 210 Н, P 2 = 50 Н; показание прибора p 02 = 245,25 кПа; диаметры поршней d 1 = 100 мм, d 2 = 50 мм и разность высот h = 0,3 м. ρ рт /ρ = 13,6.

Задача 1.16

Определить давление p в гидросистеме и вес груза G , лежащего на поршне 2 , если для его подъема к поршню 1 приложена сила F = 1 кН. Диаметры поршней: D = 300 мм, d = 80 мм, h = 1 м, ρ = 810 кг/м 3 . Построить график p = f (D ), если D изменяется от 300 до 100 мм.

Задача 1.17.

Определить максимальную высоту Н max , на которую можно подсасывать бензин поршневым насосом, если давление его насыщенных паров составляет h н.п. = 200 мм рт. ст., а атмосферное давление h а = 700 мм рт. ст. Чему равна при этом сила вдоль штока, если Н 0 = 1 м, ρ б = 700 кг/м 3 ; D = 50 мм?

Построить график F = ƒ(D ) при изменении D от 50 мм до 150 мм.

Задача 1.18

Определить диаметр D 1 гидравлического цилиндра, необходимый для подъема задвижки при избыточном давлении жидкости p = 1 МПа, если диаметр трубопровода D 2 = 1 м и масса подвижных частей устройства m = 204 кг. При расчете коэффициент трения задвижки в направляющих поверхностях принять f = 0,3, силу трения в цилиндре считать равной 5% от веса подвижных частей. Давление за задвижкой равно атмосферному, влиянием площади штока пренебречь.

Построить график зависимости D 1 = f (p ), если p изменяется в пределах от 0,8 до 5 МПа.

Задача 1.19

При зарядке гидравлического аккумулятора насос подает воду в цилиндр A, поднимая плунжер B вместе с грузом вверх. При разрядке аккумулятора плунжер, скользя вниз, выдавливает под действием силы тяжести воду из цилиндра в гидравлические прессы.

1. Определить давление воды при зарядке p з (развиваемое насосом) и разрядке p р (получаемое прессами) аккумулятора, если масса плунжера вместе с грузом m = 104 т и диаметр плунжера D = 400 мм.

Плунжер уплотнен манжетой, высота которой b = 40 мм и коэффициент трения о плунжер f = 0,1.

Построить график p з = f (D ) и p р = f (D ), если D изменяется в пределах от 400 до 100 мм, массу плунжера с грузом считать неизменной.

Задача 1.21

В герметическом сосуде-питателе А находится расплавленный баббит (ρ = 8000 кг/м 3). При показании вакуумметра p вак = 0,07 МПа заполнение разливочного ковша Б прекратилось. При этом H = 750 мм. Определить высоту уровня баббита h в сосуде-питателе А .

Задача 1.23

Определить силу F , необходимую для удержания поршня на высоте h 2 = 2 м над поверхностью воды в колодце. Над поршнем поднимается столб воды высотой h 1 = 3 м. Диаметры: поршня D = 100 мм, штока d = 30 мм. Вес поршня и штока не учитывать.

Задача 1.24

В сосуде находится расплавленный свинец (ρ = 11 г/см 3). Определить силу давления, действующую на дно сосуда, если высота уровня свинца h = 500 мм, диаметр сосуда D = 400 мм, показание мановакуумметра p вак = 30 кПа.

Построить график зависимости силы давления от диаметра сосуда, если D изменяется от 400 до 1000 мм

Задача 1.25

Определить давление p 1 жидкости, которую необходимо подвести к гидроцилиндру, чтобы преодолеть усилие, направленное вдоль штока F = 1 кН. Диаметры: цилиндра D = 50 мм, штока d = 25 мм. Давление в бачке p 0 = 50 кПа, высота H 0 = 5 м. Силу трения не учитывать. Плотность жидкости ρ = 10 3 кг/м 3 .

Задача 1.28

Система в равновесии. D = 100 мм; d = 40 мм; h = 0,5 м.

Какое усилие надо приложить на поршни А и В, если на поршень С действует сила P 1 = 0,5 кН? Трением пренебречь. Построить график зависимости P 2 от диаметра d , который изменяется от 40 до 90 мм.

Задача 1.31

Определить силу F на штоке золотника, если показание вакуумметра p вак = 60 кПа, избыточное давление p 1 = 1 МПа, высота H = 3 м, диаметры поршней D = 20 мм и d = 15 мм, ρ = 1000 кг/м 3 .

Построить график F = f (D ), если D изменяется от 20 до 160 мм.

Задача 1.3 2

Система из двух поршней, соединенных штоком, находится в равновесии. Определить силу F , сжимающую пружину. Жидкость, находящаяся между поршнями и в бачке, — масло с плотностью ρ = 870 кг/м 3 . Диаметры: D = 80 мм; d = 30 мм; высота Н = 1000 мм; избыточное давление р 0 = 10 кПа.

Задача 1.35

Определить нагрузку P на болты крышек A и Б гидравлического цилиндра диаметром D = 160 мм, если к плунжеру диаметром d = 120 мм приложена сила F = 20 кН.

Построить график зависимости P = f (d ), если d изменяется от 120 до 50 мм.

Задача 1.37

На рисунке представлена конструктивная схема гидрозамка, проходное сечение которого открывается при подаче в полость А управляющего потока жидкости с давлением p y . Определить, при каком минимальном значении p y толкатель поршня 1 сможет открыть шариковый клапан, если известно: предварительное усилие пружины 2 F = 50 H; D = 25 мм, d = 15 мм, p 1 = 0,5 МПа, p 2 = 0,2 МПа. Силами трения пренебречь.

Задача 1.38

Определить манометрическое давление p м, если усилие на поршень P = 100 кгс; h 1 = 30 см; h 2 = 60 см; диаметры поршней d 1 = 100 мм; d 2 = 400 мм; d 3 = 200 мм; ρ м /ρ в = 0,9. Определить p м.

Задача 1.41

Определить минимальное значение силы F , приложенной к штоку, под действием которой начнется движение поршня диаметром D = 80 мм, если сила пружины, прижимающая клапан к седлу, равна F 0 = 100 H, а давление жидкости p 2 = 0,2 МПа. Диаметр входного отверстия клапана (седла) d 1 = 10 мм. Диаметр штока d 2 = 40 мм, давление жидкости в штоковой полости гидроцилиндра p 1 = 1,0 МПа.

Задача 1.42

Определить величину предварительного поджатия пружины дифференциального предохранительного клапана (мм), обеспечивающую начало открытия клапана при p н = 0,8 МПа. Диаметры клапана: D = 24 мм, d = 18 мм; жесткость пружины с = 6 Н/мм. Давление справа от большего и слева от малого поршней – атмосферное.

Задача 1.44

В гидродомкрате с ручным приводом (рис. 27) на конце рычага 2 приложено усилие N = 150 Н. Диаметры напорного 1 и подъемного 4 плунжеров соответственно равны: d = 10 мм и D = 110 мм. Малое плечо рычага с = 25 мм.

С учетом общего к. п. д. гидродомкрата η = 0,82 определить длину l рычага 2 , достаточную для подъема груза 3 весом 225 кН.

Построить график зависимости l = f (d ), если d изменяется от 10 до 50 мм.

Задача 1. 4 5

Определить высоту h столба воды в пьезометрической трубке. Столб воды уравновешивает полный поршень с D = 0,6 м и d = 0,2 м, имеющий высоту H = 0,2 м. Собственным весом поршня и трением в уплотнении пренебречь.

Построить график h = f (D ), если диаметр D изменяется от 0,6 до 1 м.

Задача 1.51

Определить диаметр поршня = 80,0 кг; глубины воды в цилиндрах H = 20 см, h = 10 см.

Построить зависимость P = f (D ), если P = (20…80) кг.

Задача 1.81

Определить показание двухжидкостного манометра h 2 , если давление на свободной поверхности в баке p 0 абс = 147,15 кПа, глубина воды в баке H = 1,5 м, расстояние до ртути h 1 = 0,5 м, ρ рт /ρ в = 13,6.

Задача 2.33

Воздух засасывается двигателем из атмосферы, проходит через воздухоочиститель и затем по трубе диаметром d 1 = 50 мм подается к карбюратору. Плотность воздуха ρ = 1,28 кг/м 3 . Определить разрежение в горловине диффузора диаметром d 2 = 25 мм (сечение 2–2) при расходе воздуха Q = 0,05 м 3 /с. Принять следующие коэффициенты сопротивления: воздухоочистителя ζ 1 = 5; колена ζ 2 = 1; воздушной заслонки ζ 3 = 0,5 (отнесены к скорости в трубе); сопла ζ 4 = 0,05 (отнесен к скорости в горловине диффузора).

Задача 18

Для взвешивания тяжелых грузов 3 массой от 20 до 60 т применяют гидродинамометр (рис. 7). Поршень 1 диаметром D = 300 мм, шток 2 диаметром d = 50 мм.

Пренебрегая весом поршня и штока, построить график показаний давления р манометром 4 в зависимости от массы m груза 3.

Задача 23

На рис. 12 показана схема гидроклапана с золотником диаметром d = 20 мм.

Пренебрегая трением в гидроклапане и весом золотника 1, определить минимальное усилие, которое должна развивать сжатая пружина 2 для уравновешивания в нижней полости А давления масла р = 10 МПа.

Построить график зависимости усилия пружины от диаметра d , если d изменяется в пределах от 20 до 40 мм.

Задача 25

На рис. 14 показана схема гидрораспределителя с плоским клапаном 2 диаметром d = 20 мм. В напорной полости В гидрораспределителя действует давление масла p = 5 МПа.

Пренебрегая противодавлением в полости А гидрораспределителя и усилием слабой пружины 3, определить длину l плеча рычага 1, достаточную, чтобы открыть плоский клапан 2 приложенный к концу рычага силой F = 50 Н, если длина малого плеча a = 20 мм.

Построить график зависимости F = f (l ).

Задача 1.210

На рис. 10 показана схема плунжерного реле давления, в котором при перемещении плунжера 3 влево поднимается штырь 2, переключающий электрические контакты 4. Коэффициент жесткости пружины 1 С = 50,26 кН/м. Реле давления срабатывает, т.е. переключает электрические контакты 4 при осевом прогибе пружины 1, равном 10 мм.

Пренебрегая трением в реле давления, определить диаметр d плунжера, если реле давления должно срабатывать при давлении масла в полости А (при выходе) р = 10 МПа.

Задача I .27

Гидравлический мультипликатор (устройство для повышения давления) получает от насоса воду под избыточным давлением p 1 = 0,5 МПа. При этом заполненный водой подвижный цилиндр А с внешним диаметром D = 200 мм скользит по неподвижной скалке С , имеющей диаметр d = 50 мм, создавая на выходе из мультипликатор давление p 2 .

Определить давление p 2 , принимая силу трения в сальниках равной 10% от силы, развиваемой на цилиндре давлением p 1 , и пренебрегая давлением в линии обратного хода.

Масса подвижных частей мультипликатора m = 204 кг.

Построить график зависимости p 2 = f (D ), если D изменяется в пределах от 200 до 500 мм, m , d , p 1 считать постоянными.

Задачи можно купить или заказать новые по e-mail (skype)

Если толщина стенок цилиндра мала по сравнению с радиусами и , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид

т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).

Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р , распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.

Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.

Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.

Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно и , радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим и , толщину стенки назовем t.

По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут и . Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.

Усилия (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab , равную

Рис.2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара

Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу

Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.

Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.

Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О . Радиус соответствующего параллельного круга будет х .

Рис.3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.

Каждая пара усилий , действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс , равную

сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна ; она будет уравновешивать давление жидкости на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда .

Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти , х и для каждого значения у , и стало быть, найти , а из уравнения Лапласа и

Например, для конического резервуара с углом при вершине , наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h , будем иметь.

В технике часто встречаются сосуды, стенки которых воспринимают давление жидкостей, газов и сыпучих тел (паровые котлы, резервуары, рабочие камеры двигателей, цистерны и т. п.). Если сосуды имеют форму тел вращения и толщина стенок их незначительна, а нагрузка осесимметрична, то определение напряжений, возникающих в их стенках под нагрузкой, производится весьма просто.

В таких случаях без большой погрешности можно принять, что в стенках возникают только нормальные напряжения (растягивающие или сжимающие) и что эти напряжения распределяются равномерно по толщине стенки.

Расчеты, основанные на таких допущениях, хорошо подтверждаются опытами, если толщина стенки не превосходит примерно минимального радиуса кривизны стенки.

Вырежем из стенки сосуда элемент с размерами и .

Толщину стенки обозначим t (рис. 8.1). Радиусы кривизны поверхности сосуда в данном месте и Нагрузка на элемент - внутреннее давление , нормальное к поверхности элемента.

Заменим взаимодействие элемента с оставшейся частью сосуда внутренними силами, интенсивность которых равна и . Поскольку толщина стенок незначительна, как уже было отмечено, можно считать эти напряжения равномерно распределенными по толщине стенки.

Составим условие равновесия элемента, для чего спроецируем силы, действующие на элемент, на направление нормали пп к поверхности элемента. Проекция нагрузки равна . Проекция напряжения на направление нормали представится отрезком аb, равным Проекция усилия, действующего на грани 1-4 (и 2-3), равна . Аналогично, проекция усилия, действующего по грани 1-2 (и 4-3), равна .

Спроецировав все силы, приложенные к выделенному элементу, на направление нормали пп, получим

Ввиду малости размеров элемента можно принять

С учетом этого из уравнения равновесия получим

Учитывая, что d и имеем

Сократив на и разделив на t , получим

(8.1)

Эта формула называетсяформулой Лапласа. Рассмотрим расчет двух видов сосудов, часто встречающихся на практике: сферического и цилиндрического. При этом ограничимся случаями действия внутреннего газового давления.

а) б)

1. Сферический сосуд. В этом случае и Из (8.1) следует откуда

(8.2)

Так как в данном случае имеет место плоское напряженное состояние, то для расчета на прочность необходимо применить ту или иную теорию прочности. Главные напряжения имеют следующие значения: По третьей гипотезе прочности; . Подставляя и , получаем

(8.3)

т. е. проверка прочности ведется, как в случае одноосного напряженного состояния.

По четвертой гипотезе прочности,
. Так как в данном случае , то

(8.4)

т. е. то же условие, что и по третьей гипотезе прочности.

2. Цилиндрический сосуд. В этом случае (радиус цилиндра) и (радиус кривизны образующей цилиндра).

Из уравнения Лапласа получаем откуда

(8.5)

Для определения напряжения рассечем сосуд плоскостью, перпендикулярной его оси, и рассмотрим условие равновесия одной из частей сосуда (рис. 47 б).

Проецируя на ось сосуда все силы, действующие на отсеченную часть, получаем

(8.6)

где - равнодействующая сил давления газа на днище сосуда.

Таким образом, , откуда

(8.7)

Заметим, что в силу тонкостенности кольца, представляющего собой сечение цилиндра, по которому действуют напряжения , площадь его подсчитана как произведение длины окружности на толщину стенки. Сравнивая и в цилиндрическом сосуде, видим, что

В инженерной практике широкое применение находят такие конструкции, как цистерны, водонапорные резервуары, газгольдеры, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двигателей и т.д. Все эти конструкции с точки зрения их расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонкостенным сосудам (оболочкам) (Рис.13.1,а).

Характерной особенностью большинства тонкостенных сосудов является то, что по форме они представляют тела вращения, т.е. их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой вокруг осиО -О . Сечение сосуда плоскостью, содержащей ось О -О , называется меридиональным сечением , а сечения, перпендикулярные к меридиональным сечениям, называются окружными . Окружные сечения, как правило, имеют вид конуса. Показанная на рис 13.1б нижняя часть сосуда отделена от верхней окружным сечением. Поверхность, делящая толщину стенок сосуда пополам, называется срединной поверхностью . Считается, что оболочка является тонкостенной, если отношение наименьшего главного радиуса кривизны в данной точке поверхности к толщине стенки оболочки превышает число 10
.

Рассмотрим общий случай действия на оболочку какой-либо осесимметричной нагрузки, т.е. такой нагрузки, которая не меняется в окружном направлении и может меняться лишь вдоль меридиана. Выделим из тела оболочки двумя окружными и двумя меридиональными сечениями элемент (Рис.13.1,а). Элемент испытывает растяжение во взаимно перпендикулярных направлениях и искривляется. Двустороннему растяжению элемента соответствует равномерное распределение нормальных напряжений по толщине стенки и возникновение в стенке оболочки нормальных усилий. Изменение кривизны элемента предполагает наличие в стенке оболочки изгибающих моментов. При изгибе в стенке балки возникают нормальные напряжения, меняющиеся по толщине стенки.

При действии осесимметричной нагрузки влиянием изгибающих моментов можно пренебречь, так как преобладающее значение имеют нормальные силы. Это имеет место тогда, когда форма стенок оболочки и нагрузка на нее таковы, что возможно равновесие между внешними и внутренними усилиями без появления изгибающих моментов. Теория расчета оболочек, построенная на предположении, что нормальные напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует, называется безмоментной теорией оболочек . Безмоментная теория хорошо работает, если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами. Кроме того, эта теория дает более точные результаты, чем меньше толщина стенки оболочки, т.е. чем ближе к истине предположение о равномерном распределении напряжений по толщине стенки.

При наличии сосредоточенных сил и моментов, резких переходов и защемлений сильно усложняется решение задачи. В местах крепления оболочки и в местах резких изменений формы возникают повышенные напряжения, обусловленные влиянием изгибающих моментов. В этом случае применяется так называемая моментная теория расчета оболочек . Следует отметить, что вопросы общей теории оболочек выходят далеко за рамки сопротивления материалов и изучается в специальных разделах строительной механики. В настоящем пособии при расчете тонкостенных сосудов рассматривается безмоментная теория для случаев, когда задача определения напряжений, действующих в меридиональном и окружном сечениях, оказывается статически определимой.

13.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории. Вывод уравнения Лапласа

Рассмотрим осесимметричную тонкостенную оболочку, испытывающую внутреннее давление от веса жидкости (Рис.13.1,а). Двумя меридиональными и двумя окружными сечениями выделим из стенки оболочки бесконечно малый элемент и рассмотрим его равновесие (Рис.13.2).

В меридиональных и окружных сечениях касательные напряжения отсутствуют ввиду симметрии нагрузки и осутствия взаимных сдвигов сечений. Следовательно, на выделенный элемент будут действовать только главные нормальные напряжения: меридиональное напряжение
иокружное напряжение . На основании безмоментной теории будем считать, что по толщине стенки напряжения
ираспределены равномерно. Кроме того, все размеры оболочки будем относить к срединной поверхности ее стенок.

Срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность двоякой кривизны. Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой точки обозначим
, радиус кривизны срединной поверхности в окружном направлении обозначим. По граням элемента действуют силы
и
. На внутреннюю поверхность выделенного элемента действует давление жидкости, равнодействующая которого равна
. Спроектируем приведенные выше силы на нормаль
к поверхности:

Изобразим проекцию элемента на меридиональную плоскость (Рис.13.3) и на основании этого рисунка запишем в выражении (а) первое слагаемое. Второе слагаемое записывается по аналогии.

Заменяя в (а) синус его аргументом ввиду малости угла и разделив все члены уравнения (а) на
, получим:

(б).

Учитывая, что кривизны меридионального и окружного сечений элемента равны соответственно
и
, и подставляя эти выражения в (б) находим:

. (13.1)

Выражение (13.1) представляет собой уравнения Лапласа, названного так в честь французского ученого, который получил его в начале XIXвека при изучении поверхностного натяжения в жидкостях.

В уравнение (13.1) входят два неизвестных напряжения и
. Меридиональное напряжение
найдем, составив уравнение равновесия на ось
сил, действующих на отсеченную часть оболочки (Рис.12.1,б). Площадь окружного сечения стенок оболочки посчитаем по формуле
. Напряжения
ввиду симметрии самой оболочки и нагрузки относительнго оси
распределены по площади равномерно. Следовательно,

, (13.2)

где вес части сосуда и жидкости, лежащих ниже рассматриваемого сечения;давление жидкости, по закону Паскаля одинаковое во всех направлениях и равное, гдеглубина рассматриваемого сечения, авес единицы объема жидкости. Если жидкость хранится в сосуде под некоторым избыточным в сравнении с атмосферным давлением, то в этом случае
.

Теперь, зная напряжение
из уравнения Лапласа (13.1) можно найти напряжение.

При решении практических задач ввиду того, что оболочка тонкая, можно вместо радиусов срединной поверхности
иподставлять радиусы наружной и внутренней поверхностей.

Как уже отмечалось окружные и меридиональные напряжения и
являются главными напряжениями. Что касается третьего главного напряжения, направление которого нормально к поверхности сосуда, то на одной из поверхностей оболочки (наружной или внутреннейв зависимости от того, с какой стороны действует давление на оболочку) оно равно, а на противоположной – нулю. В тонкостенных оболочках напряженияи
всегда значительно больше. Это означает, что величиной третьего главного напряжения можно пренебречь по сравнению си
, т.е. считать его равным нулю.

Таким образом, будем считать, что материал оболочки находится в плоском напряженном состоянии. В этом случае для оценки прочности в зависимости от состояния материала следует пользоваться соответствующей теорией прочности. Например, применив четвертую (энергетическую) теорию, условие прочности запишем в виде:

Рассмотрим несколько примеров расчета безмоментнтых оболочек.

Пример 13.1. Сферический сосуд находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.4). Определить напряжения действущие в стенке сосуда и оценить прочность сосуда с использованием третьей теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебрегаем.

1. Ввиду круговой симметрии оболочки и осесимметричности нагрузки напряжения и
одинаковы во всех точках оболочки. Полагая в (13.1)
,
, а
, получаем:

. (13.4)

2. Выполняем проверку по третьей теории прочности:

.

Учитывая, что
,
,
, условие прочности принимае вид:

. (13.5)

Пример 13.2. Цилиндрическая оболочка находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.5). Определить окружные и меридиональные напряжения, действующие в стенке сосуда, и оценить его прочность с использованием четвертой теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебречь.

1. Меридианами в цилиндрической части оболочки являются образующие, для которых
. Из уравнения Лапласа (13.1) находим окружное напряжение:

. (13.6)

2. По формуле (13.2) находим меридиональное напряжение, полагая
и
:

. (13.7)

3. Для оценки прочности принимаем:
;
;
. Условие прочности по четвертой теории имеет вид (13.3). Подставляя в это условие выражения для окружных и меридиональных напряжений (а) и (б), получаем

Пример 12.3. Цилиндрический резервуар с коническим днищем находится под действием веса жидкости (Рис.13.6,б). Установить законы изменения окружных и меридиональных напряжений в пределах конической и цилиндрической части резервуара, найти максимальные напряженияи
и построить эпюры распределения напряжений по высоте резервуара. Весом стенок резервуара пренебречь.

1. Находим давление жидкости на глубине
:

. (а)

2. Определяем окружные напряжения из уравнения Лапласа, учитывая, что радиус кривизны меридианов (образующих)
:

. (б)

Для конической части оболочки

;
. (в)

Подставляя (в) в (б) получим закон изменения окружных напряжений в пределах конической части резервуара:

. (13.9)

Для цилиндрической части, где
закон распределения окружных напряжений имеет вид:

. (13.10)

Эпюра показана на рис.13.6,а. Для конической части эта эпюра параболическая. Ее математический максимум имеет место в середине общей высоты при
. При
он имеет условное значение, при
максимум напряжений попадает в пределы конической части и имеет реальное значение.

Цель: сформировать представление об особенностях деформирования и расчета на прочность тонкостенных оболочек и толстостенных цилиндров.

Расчет тонкостенных оболочек

Оболочка - это элемент конструкции, ограниченный поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга. Оболочка называется тонкостенной, если для нее выполняется условие р/h> 10, где h - толщина оболочки; р- радиус кривизны срединной поверхности, которая представляет собой геометрическое место точек, равноотстающих от обеих поверхностей оболочки.

К деталям, моделью формы которых принимают оболочку, относятся автомобильные покрышки, сосуды, гильзы ДВС, несущие кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса кораблей, купола перекрытий и т. д.

Следует отметить, что оболочечные конструкции во многих случаях являются оптимальными, т. к. на их изготовление затрачивается минимум материалов.

Характерной чертой большинства тонкостенных оболочек является то, что по форме они представляют собой тела вращения, т. е. каждая их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой (профиля) вокруг неподвижной оси. Такие тела вращения называются осесимметричными. На рис. 73 приведена оболочка, срединная поверхность которой получена вращением профиля ВС вокруг оси АС.

Выделим из срединной поверхности в окрестностях точки К. , лежащей на этой поверхности, бесконечно малый элемент 1122 двумя меридиональными плоскостями АСт и АСт 2 с углом d(p между ними и двумя нормальными к меридианам сечениями HO t и 220 2 .

Меридиональным называется сечение (или плоскость), проходящее через ось вращения АС. Нормальным называется сечение, перпендикулярное меридиану ВС.

Рис. 73.

Нормальные сечения для рассматриваемого сосуда являются коническими поверхностями с вершинами 0 и О г, лежащими на оси АС.

Введем следующие обозначения:

р т - радиус кривизны дуги 12 в меридиональном сечении;

р, - радиус кривизны дуги 11 в нормальном сечении.

В общем случае р т и р, являются функцией угла в - угла между осью АС и нормалью 0,1 (см. рис. 73).

Особенностью работы оболочечных конструкций является то, что все ее точки, как правило, находятся в сложном напряженном состоянии и для расчетов оболочек применяют теории прочности.

Для определения напряжений, возникающих в тонкостенной оболочке, обычно пользуются так называемой безмоментной теорией. По этой теории полагают, что среди внутренних усилий отсутствуют изгибающие моменты. Стенки оболочки работают только на растяжение (сжатие), а напряжения равномерно распределены по толщине стенки.

Эта теория применима в том случае, если:

• 1) оболочка представляет собой тело вращения;
• 2) толщина стенки оболочки S весьма мала по сравнению с радиусами кривизны оболочки;
• 3) нагрузка, газовое или гидравлическое давление распределены полярно симметрично относительно оси вращения оболочки.

Совокупность этих трех условий позволяет принять гипотезу о неизменности напряжения по толщине стенки в нормальном сечении. Основываясь на этой гипотезе, заключаем, что стенки оболочки работают только на растяжение или сжатие, так как изгиб связан с неравномерным распределением нормальных напряжений по толщине стенки.

Установим положение главных площадок, т. е. тех площадок (плоскостей), в которых отсутствуют касательные напряжении (т= 0).

Очевидно, что любое меридиональное сечение разделяет тонкостенную оболочку на две части, симметричные как в геометрическом, так и в силовом соотношении. Так как соседние частицы деформируются одинаково, то между сечениями полученных двух частей отсутствует сдвиг, значит, в меридиональной плоскости касательные напряжения отсутствуют (т = 0). Следовательно, она является одной из главных площадок.

В силу закона парности не будет касательных напряжений и в сечениях, перпендикулярных меридиональному сечению. Следовательно, нормальное сечение (площадка) также является главным.

Третья главная площадка перпендикулярна двум первым: в наружной точке К (см. рис. 73) она совпадает с боковой поверхкостью оболочки, в ней г = о = 0, таким образом, в третьей главной площадке о 3 = 0. Поэтому материал в точке К испытывает плоское напряженное состояние.

Для определения главных напряжений выделим в окрестностях точки К бесконечно малый элемент 1122 (см. рис. 73). На гранях элемента возникают только нормальные напряжения а„ и о, . Первое из них а т называется меридиональным, а второе а, - окружным напряжением, которые являются главными напряжениями в данной точке.

Вектор напряжения а, направлен по касательной к окружности, полученной от пересечения срединной поверхности нормальным сечением. Вектор напряжения о„ направлен по касательной к меридиану.

Выразим главные напряжения через нагрузку (внутреннее давление) и геометрические параметры оболочки. Для определения а т и а, нужны два независимых уравнения. Меридиональное напряжение о„ можно определить из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис. 74, а):

Подставив г-р т sin 9, получим

Второе уравнение получаем из условия равновесия элемента оболочки (рис. 74, б). Если спроектировать все силы, действующие на элемент, на нормаль и приравнять полученное выражение нулю, то получаем

Ввиду малых углов принимаем

В результате проведенных математических преобразований получаем уравнение следующего вида:

Данное уравнение носит название уравнения Лапласа и устанавливает зависимость между меридианальным и окружным напряжениями в любой точке тонкостенной оболочки и внутренним давлением.

Так как опасный элемент тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии, на основании полученных результатов с т и a h а также исходя из зависимости

Рис. 74. Фрагмент тонкостенной осесимметричной оболочки: а ) схема нагружения; б) напряжения, действующие по граням выделенного элемента оболочки

Так, по третьей теории прочности: а" 1 =&-ст ъ

Таким образом, для цилиндрических сосудов радиуса г и толщины стенок И получаем

исходя из уравнения равновесия отсеченной части, а„

следовательно, а, а т, = 0.

При достижении предельного давления цилиндрический сосуд (в том числе все трубопроводы) разрушается по образующей.

Для сферических сосудов (р, = р т = г) применение уравнения Лапласа дает следующие результаты:

_ Р г рг _ рг

о, = о т = -, следовательно, = а 2 = и„ = -,

2 h 2 h 2 h

Из полученных результатов становится очевидно, что по сравнению с цилиндрическим сосудом сферический является более оптимальной конструкцией. Предельное давление в сферическом сосуде в два раза больше.

Рассмотрим примеры расчета тонкостенных оболочек.

Пример 23. Определить необходимую толщину стенок ресивера, если внутреннее давление р- 4 атм = 0,4 МПа; R = 0,5 м; [а]= 100 МПа (рис. 75).

Рис. 75.

• 1. В стенке цилиндрической части возникают меридианаль- ные и окружные напряжения, связанные уравнением Лапласа: а т о, Р
• -+-=-. Необходимо найти толщину стенки п.

Рт Р, h

2. Напряженное состояние точки В - плоское.

Условие прочности: er" =сг 1 -ет 3 ?[

• 3. Необходимо выразить и о$ через сг„ и а, в буквенном виде.
• 4. Величину а„, можно найти из условия равновесия отсеченной части ресивера. Величину напряжения а, - из условия Лапласа, где р т = со.
• 5. Подставить найденные величины в условие прочности и выразить через них величину И.
• 6. Для сферической части толщина стенки h определяется аналогично, с учетом р„= р,- R.

1. Для цилиндрической стенки:

Таким образом, в цилиндрической части ресивера о, > о т и 2 раза.

Таким образом, h = 2 мм - толщина цилиндрической части ресивера.

Таким образом, h 2 = 1 мм - толщина сферической части ресивера.