Задачи по гидравлике с готовыми решениями

В технике часто встречаются сосуды, стенки которых воспринимают давление жидкостей, газов и сыпучих тел (паровые котлы, резервуары, рабочие камеры двигателей, цистерны и т. п.). Если сосуды имеют форму тел вращения и толщина стенок их незначительна, а нагрузка осесимметрична, то определение напряжений, возникающих в их стенках под нагрузкой, производится весьма просто.

В таких случаях без большой погрешности можно принять, что в стенках возникают только нормальные напряжения (растягивающие или сжимающие) и что эти напряжения распределяются равномерно по толщине стенки.

Расчеты, основанные на таких допущениях, хорошо подтверждаются опытами, если толщина стенки не превосходит примерно минимального радиуса кривизны стенки.

Вырежем из стенки сосуда элемент с размерами и .

Толщину стенки обозначим t (рис. 8.1). Радиусы кривизны поверхности сосуда в данном месте и Нагрузка на элемент - внутреннее давление , нормальное к поверхности элемента.

Заменим взаимодействие элемента с оставшейся частью сосуда внутренними силами, интенсивность которых равна и . Поскольку толщина стенок незначительна, как уже было отмечено, можно считать эти напряжения равномерно распределенными по толщине стенки.

Составим условие равновесия элемента, для чего спроецируем силы, действующие на элемент, на направление нормали пп к поверхности элемента. Проекция нагрузки равна . Проекция напряжения на направление нормали представится отрезком аb, равным Проекция усилия, действующего на грани 1-4 (и 2-3), равна . Аналогично, проекция усилия, действующего по грани 1-2 (и 4-3), равна .

Спроецировав все силы, приложенные к выделенному элементу, на направление нормали пп, получим

Ввиду малости размеров элемента можно принять

С учетом этого из уравнения равновесия получим

Учитывая, что d и имеем

Сократив на и разделив на t , получим

(8.1)

Эта формула называетсяформулой Лапласа. Рассмотрим расчет двух видов сосудов, часто встречающихся на практике: сферического и цилиндрического. При этом ограничимся случаями действия внутреннего газового давления.

а) б)

1. Сферический сосуд. В этом случае и Из (8.1) следует откуда

(8.2)

Так как в данном случае имеет место плоское напряженное состояние, то для расчета на прочность необходимо применить ту или иную теорию прочности. Главные напряжения имеют следующие значения: По третьей гипотезе прочности; . Подставляя и , получаем

(8.3)

т. е. проверка прочности ведется, как в случае одноосного напряженного состояния.

По четвертой гипотезе прочности,
. Так как в данном случае , то

(8.4)

т. е. то же условие, что и по третьей гипотезе прочности.

2. Цилиндрический сосуд. В этом случае (радиус цилиндра) и (радиус кривизны образующей цилиндра).

Из уравнения Лапласа получаем откуда

(8.5)

Для определения напряжения рассечем сосуд плоскостью, перпендикулярной его оси, и рассмотрим условие равновесия одной из частей сосуда (рис. 47 б).

Проецируя на ось сосуда все силы, действующие на отсеченную часть, получаем

(8.6)

где - равнодействующая сил давления газа на днище сосуда.

Таким образом, , откуда

(8.7)

Заметим, что в силу тонкостенности кольца, представляющего собой сечение цилиндра, по которому действуют напряжения , площадь его подсчитана как произведение длины окружности на толщину стенки. Сравнивая и в цилиндрическом сосуде, видим, что

Расчет тонкостенных сосудов по безмоментной теории

Задача 1.

Давление воздуха в цилиндре амортизационной стойки шасси самолета в положении на стоянке равно р =20 МПа. Диаметр цилиндра d =….. мм, толщина стенки t =4 мм. Определить главные напряжения в цилиндре на стоянке и после взлета, когда давление в амортизаторе ………………….

Ответ: (на стоянке); (после взлета).

Задача 2.

Вода поступает в водяную турбину по трубопроводу, наружный диаметр которого у машинного здания равен …. м , а толщина стенки t =25 мм. Машинное здание расположена на 200 м ниже уровня озера, из которого забирается вода. Найти наибольшее напряжение в ……………………….

Ответ:

Задача 3.

Проверить прочность стенки ……………………………диаметром ….. м, находящегося под рабочим давлением р =1 МПа, если толщина стенки t =12 мм, [σ]=100 МПа. Применить IV гипотезу прочности.

Ответ:

Задача 4.

Котел имеет диаметр цилиндрической части d =…. м и находится под рабочим давлением р=….. МПа. Подобрать толщину стенки котла при допускаемом напряжении [σ]=100 МПа, используя III гипотезу прочности. Какая была бы необходимая толщина при использовании IV гипотезы прочности?

Ответ:

Задача 5.

Стальная сферическая оболочка диаметром d =1 м и толщиной t =…. мм нагружена внутренним давлением р =4 МПа. Определить……………… напряжения и ……………….. диаметра.

Ответ: мм.

Задача 6.

Цилиндрический сосуд диаметром d =0,8 м имеет стенку толщиной t =… мм. Определить величину допускаемого давления в сосуде, исходя из IV гипотезы прочности, если [σ]=…… МПа.

Ответ: [р ]=1,5 МПа.

Задача 7.

Определить ………………………….. материала цилиндрической оболочки, если при нагружении ее внутренним давлением деформации в направлении датчиков составили

Ответ: ν=0,25.

Задача 8.

Дюралюминиевая труба толщиной мм и внутренним диаметром мм усилена плотно надетой на нее стальной рубашкой толщиной мм. Найти предельное ………………………..для двухслойной трубы по пределу текучести и ……………… напряжение между слоями в этот момент, полагая Е ст =200 ГПа, Е д =70 ГПа,

Ответ:

Задача 9.

Водовод диаметром d =…. мм в период пуска имел толщину стенки t =8 мм. В процессе эксплуатации вследствие коррозии толщина местами……………………... Какой максимальный столб воды может выдержит трубопровод при двукратным запасе прочности, если предел текучести материала трубы равен

Задача 10.

Газопровод диаметром d =……. мм и толщиной стенки t =8 мм пересекает водохранилище при максимальной………………………….., достигающей 60 м. В процессе эксплуатации газ перекачивается под давлением р =2,2 МПа, а при строительстве подводного перехода давление в трубе отсутствует. Чему равны наибольшие напряжения в трубопроводе и когда они возникают?

Задача 11.

Тонкостенный цилиндрический сосуд имеет полусферические днища. Каково должно быть соотношение между толщинами цилиндрической и сферической частей, чтобы в зоне перехода не возникло………………….?

Задача 12.

При изготовлении железнодорожных цистерн их испытывают под давлением р =0,6 МПа. Определить …………………………в цилиндрической части и в днище цистерны, принимая давление при испытаниях за расчетное. Расчет вести по III гипотезы прочности.

Задача 13.

Между двумя концентрически расположенными бронзовыми трубами протекает жидкость под давлением р =6 МПа. Толщина наружной трубы равна При какой толщине внутренней трубы обеспечивается …………………….. обеих труб? Чему равны при этом наибольшие напряжения?

Задача 14.

Определите ………………………… материала оболочки, если нагружении ее внутренним давлением деформации в направлении датчиков составили

Задача 15.

Тонкостенный сферический сосуд диаметром d =1 м и толщиной t =1 см находится под действием внутреннего давления и внешнего Каков ………………….. сосуда П т , если

Будет ли правильным следующее решение:

Задача 16.

Тонкостенная труба с заглушенными концами находится под действием внутреннего давления р и изгибающего момента М. Пользуясь III гипотезой прочности, исследуйте …………………… напряжения от величины М при заданном р.

Задача 17.

На какой глубине находятся точки с ………………….. меридиональными и окружными напряжениями для приведенного справа конического сосуда? Определите величины этих напряжений, полагая удельный вес продукта равен γ=…. кН/м 3 .

Задача 18.

Сосуд подвергается давлению газа р =10 МПа. Найти……………………, если [ σ ]=250 МПа.

Ответ: t =30 мм.

Задача 19.

Вертикально стоящий цилиндрический резервуар с полусферическим днищем доверху заполнен водой. Толщина боковых стенок и днища t =2 мм. Определить ………………………. напряжения в цилиндрической и сферической частях конструкции.

Ответ:

Задача 20.

Резервуар цилиндрической формы дополнен до глубины Н 1 =6 м жидкостью с удельным весом а поверх не – на толщину Н 2 =2 м – водой. Определить …………………….. резервуара у дна, если [ σ ]=60 МПа.

Ответ: t =5 мм.

Задача 21.

Небольшой газгольдер для светильного газа имеет толщину стенок t =5 мм. Найти ………………………………… верхнего и нижнего сосудов.

Ответ:

Задача 22.

Поплавок клапана испытательной машины представляет собой замкнутый цилиндр из алюминиевого сплава диаметром d =….. мм. Поплавок подвергается ………………………давлением р =23 МПа. Определить толщину стенки поплавка, используя четвертую гипотезу прочности, если [σ]=200 МПа.

Ответ: t =5 мм.

Задача 23.

Тонкостенный сферический сосуд с диаметром d =1 м и толщиной t =1 см находится под действием внутреннего ……………… и внешнего Каков ……………….. стенок сосуда если

Ответ: .

Задача 24.

Определить наибольшие ………………… и окружные напряжения в торообразном баллоне, если р=…. МПа, t =3 мм, а =0,5 мм; d =0,4 м.

Ответ:

Задача 25.

Стальной полусферический сосуд радиуса R =… м заполнен жидкостью с удельным весом γ=7,5 кН/м 3 . Принимая ……………………. 2 мм и пользуясь III гипотезой прочности, определить необходимую толщину стенки сосуда, если [σ]=80 МПа.

Ответ: t =3 мм.

Задача 26.

Определить, …………………… находятся точки с наибольшими меридиональными и окружными напряжениями и вычислить эти напряжения, если толщина стенки t =… мм, удельный вес жидкости γ=10 кН/м 3 .

Ответ: на глубине 2 м; на глубине 4 м.

Задача 27.

Цилиндрический сосуд с коническим днищем заполнен жидкостью с удельным весом γ=7 кН/м 3 . Толщина стенок постоянна и равна t =…мм. Определить …………………………….. и окружные напряжения.

Ответ:

Задача 28.

Цилиндрический сосуд с полусферическим днищем заполнен жидкостью с удельным весом γ=10 кН/м 3 . Толщина стенок постоянна и равна t =… мм. Определить наибольшее напряжение в стенке сосуда. Во сколько раз увеличится это напряжение, если длину………………………………, сохранив неизменными все остальные размеры?

Ответ: увеличится в 1,6 раза.

Задача 29.

Для хранения нефти с удельным весом γ=9,5 кН/м 3 используется сосуд в виде усеченного конуса с толщиной стенки t =10 мм. Определить наибольшие …………………………. напряжения в стенке сосуда.

Ответ:

Задача 30.

Тонкостенный конический колокол находится под слоем воды. Определить …………………………….. и окружные напряжения, если давление воздуха на поверхность под колоколом толщина стенки t =10 мм.

Ответ:

Задача 31.

Оболочка толщиной t =20 мм, имеющая форму эллипсоида вращения (Ох – ось вращения), нагружена внутренним давлением р=…. МПа. Найти ………………….. в продольном и поперечном сечениях.

Ответ:

Задача 32.

Пользуясь третьей гипотезой прочности, проверить прочность сосуда, имеющего форму параболоида вращения с толщиной стенки t =… мм, если удельные вес жидкости γ=10 кН/м 3 , допускаемое напряжение [σ]=20 МПа, d = h =5 м. Прочность проверить по высоте…………………………...

Ответ: т.е. прочность обеспечена.

Задача 33.

Цилиндрический сосуд со сферическими днищами предназначен для хранения газа под давлением р =… МПа. Под ………………… можно будет хранить газ в сферическом сосуде той же емкости при неизменном материале и толщине стенки? Какая при этом достигается экономия материала?

Ответ: экономия составит 36%.

Задача 34.

Цилиндрическая оболочка с толщиной стенки t =5 мм сжимается силой F =….. кН. Образующие оболочки из-за неточности изготовления получили малое…………………………. Пренебрегая влиянием этого искривления на меридиональные напряжения, вычислить в середине высоты оболочки в предположении, что образующие искривлены по одной полуволне синусоиды, а f =0,01 l ; l = r .

Ответ:

Задача 35.

Вертикальный цилиндрический сосуд предназначен для хранения жидкости объема V и удельного веса γ. Суммарная толщина верхнего и нижнего оснований, назначаемая по конструктивным соображениям, равна Определить наивыгоднейшую высоту резервуара Н опт , при которой масса конструкции будет минимальна. Принимая высоту резервуара, равной Н опт , найти ………………………….. части, полагая [σ]=180 МПа, Δ=9 мм, γ=10 кН/м 3 , V =1000 м 3 .

Ответ: Н опт =9 м, мм.

Задача 36.

Длинная тонкая трубка толщиной t =…. мм надета с натягом Δ на абсолютно жесткий стержень диаметра d =….. мм. …………… н еобходимо приложить к трубке, чтобы снять ее со стержня, если Δ=0,0213 мм; f =0,1; l =10 см, Е=100 ГПа, ν=0,35.

Ответ: F =10 кН.

Задача 37.

Тонкостенный цилиндрический сосуд со сферическими днищами подвергается изнутри давлению газа р =7 МПа. Путем ……………………………….. диаметром Е 1 =Е 2 =200 ГПа.

Ответ: N 02 =215 Н.

Задача 38.

Среди прочих конструктивных элементов в авиационной и в ракетной технике используются баллоны высокого давления. Обычно они имеют цилиндрическую или сферическую форму и для них, как и для прочих конструктивных узлов, чрезвычайно важно соблюсти требование минимального веса. Предлагается конструкция фасонного цилиндра, показанная на рисунке. Стенки баллона состоят из нескольких цилиндрических секций, связанных радиальными стенками. Поскольку цилиндрические стенки имеют небольшой радиус, напряжения в них уменьшается, и можно надеяться, что несмотря на увеличение веса за счет радиальных стенок, общий вес конструкции окажется меньшим, чем для обыкновенного цилиндра, имеющего тот же объем…………………………….?

Задача 39.

Определить ……………………… тонкостенной оболочки равного сопротивления, содержащей жидкость удельно веса γ.

Расчет толстостенных труб

Задача 1.

Какое давление (внутреннее или наружное) ……………………. трубы? Во сколько раз наибольшие эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности в одном случае больше или меньше, чем в другом, если величины давления одинаковы? Будут ли равны наибольшие радиальные перемещения в обоих случаях?

Задача 2.

Две трубы отличаются только размерами поперечного сечения: 1-я труба – а =20 см, b =30 см; 2-я труба – а =10 см, b =15 см. Какая из труб обладает ……………………… способностью?

Задача 3.

Толстостенная труба с размерами а =20 см и b =40 см не выдерживает заданное давление. С целью повышения несущей способности предлагаются два варианта: 1) увеличить в П раз наружный радиус b ; 2) уменьшить в П раз внутренний радиус а . Какой из вариантов дает ……………………………. при одинаковом значении П?

Задача 4.

Труба с размерами а =10 см и b =20 см выдерживает давление р=….. МПа. Насколько (в процентах) ……………….. несущая способность трубы, если наружный радиус увеличить в … раза?

Задача 5.

В конце первой мировой войны (1918 г.) Германии была изготовлена сверхдальнобойная пушка для обстрела Парижа с расстояния 115 км. Это была стальная труба 34 м длиной и толщиной стенок в казенной части 40 см. Весило орудие 7,5 МН. Его 120-килограммовые снаряды имели метр в длину при диаметре 21 см. Для заряда употреблялось 150 кг пороха, развивавшего давление в 500 МПа, которое выбрасывало снаряд с начальной скоростью 2 км/с. Каков должен быть……………………………., использованной для изготовления ствола орудия, при не менее чем полуторакратным запасе прочности?

Помощь он-лайн только по предварительной записи

Задача 1

Определить разность уровней пьезометров h .

Система находится в равновесии.

Соотношение площадей поршней равно 3. H = 0,9 м.

Жидкость вода.

Задача 1.3

Определить разность уровней h в пьезометрах при равновесии поршней мультипликатора, если D /d = 5, H = 3,3 м. Построить график h = f (D /d ), если D /d = 1,5 ÷ 5.

Задача 1 . 5

Тонкостенный сосуд, состоящий из двух цилиндров диаметрами d = 100 мм и D = 500 мм, нижним открытым концом опущен под уровень воды в резервуаре А и покоится на опорах С, расположенных на высоте b = 0,5 м над этим уровнем.

Определить величину силы, воспринимаемой опорами, если в сосуде создан вакуум, обусловивший поднятия воды в нем на высоту a + b = 0,7 м. Собственная вес сосуда G = 300 Н. Как влияет на результат изменение диаметра d ?

Задача 1.7

Определить абсолютное давление воздуха в сосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, высота H = 1 м. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 . Атмосферное давление p атм = 736 мм рт. ст.

Задача 1.9

Определить давление над поршнем p 01 , если известны: усилия на поршни P 1 = 210 Н, P 2 = 50 Н; показание прибора p 02 = 245,25 кПа; диаметры поршней d 1 = 100 мм, d 2 = 50 мм и разность высот h = 0,3 м. ρ рт /ρ = 13,6.

Задача 1.16

Определить давление p в гидросистеме и вес груза G , лежащего на поршне 2 , если для его подъема к поршню 1 приложена сила F = 1 кН. Диаметры поршней: D = 300 мм, d = 80 мм, h = 1 м, ρ = 810 кг/м 3 . Построить график p = f (D ), если D изменяется от 300 до 100 мм.

Задача 1.17.

Определить максимальную высоту Н max , на которую можно подсасывать бензин поршневым насосом, если давление его насыщенных паров составляет h н.п. = 200 мм рт. ст., а атмосферное давление h а = 700 мм рт. ст. Чему равна при этом сила вдоль штока, если Н 0 = 1 м, ρ б = 700 кг/м 3 ; D = 50 мм?

Построить график F = ƒ(D ) при изменении D от 50 мм до 150 мм.

Задача 1.18

Определить диаметр D 1 гидравлического цилиндра, необходимый для подъема задвижки при избыточном давлении жидкости p = 1 МПа, если диаметр трубопровода D 2 = 1 м и масса подвижных частей устройства m = 204 кг. При расчете коэффициент трения задвижки в направляющих поверхностях принять f = 0,3, силу трения в цилиндре считать равной 5% от веса подвижных частей. Давление за задвижкой равно атмосферному, влиянием площади штока пренебречь.

Построить график зависимости D 1 = f (p ), если p изменяется в пределах от 0,8 до 5 МПа.

Задача 1.19

При зарядке гидравлического аккумулятора насос подает воду в цилиндр A, поднимая плунжер B вместе с грузом вверх. При разрядке аккумулятора плунжер, скользя вниз, выдавливает под действием силы тяжести воду из цилиндра в гидравлические прессы.

1. Определить давление воды при зарядке p з (развиваемое насосом) и разрядке p р (получаемое прессами) аккумулятора, если масса плунжера вместе с грузом m = 104 т и диаметр плунжера D = 400 мм.

Плунжер уплотнен манжетой, высота которой b = 40 мм и коэффициент трения о плунжер f = 0,1.

Построить график p з = f (D ) и p р = f (D ), если D изменяется в пределах от 400 до 100 мм, массу плунжера с грузом считать неизменной.

Задача 1.21

В герметическом сосуде-питателе А находится расплавленный баббит (ρ = 8000 кг/м 3). При показании вакуумметра p вак = 0,07 МПа заполнение разливочного ковша Б прекратилось. При этом H = 750 мм. Определить высоту уровня баббита h в сосуде-питателе А .

Задача 1.23

Определить силу F , необходимую для удержания поршня на высоте h 2 = 2 м над поверхностью воды в колодце. Над поршнем поднимается столб воды высотой h 1 = 3 м. Диаметры: поршня D = 100 мм, штока d = 30 мм. Вес поршня и штока не учитывать.

Задача 1.24

В сосуде находится расплавленный свинец (ρ = 11 г/см 3). Определить силу давления, действующую на дно сосуда, если высота уровня свинца h = 500 мм, диаметр сосуда D = 400 мм, показание мановакуумметра p вак = 30 кПа.

Построить график зависимости силы давления от диаметра сосуда, если D изменяется от 400 до 1000 мм

Задача 1.25

Определить давление p 1 жидкости, которую необходимо подвести к гидроцилиндру, чтобы преодолеть усилие, направленное вдоль штока F = 1 кН. Диаметры: цилиндра D = 50 мм, штока d = 25 мм. Давление в бачке p 0 = 50 кПа, высота H 0 = 5 м. Силу трения не учитывать. Плотность жидкости ρ = 10 3 кг/м 3 .

Задача 1.28

Система в равновесии. D = 100 мм; d = 40 мм; h = 0,5 м.

Какое усилие надо приложить на поршни А и В, если на поршень С действует сила P 1 = 0,5 кН? Трением пренебречь. Построить график зависимости P 2 от диаметра d , который изменяется от 40 до 90 мм.

Задача 1.31

Определить силу F на штоке золотника, если показание вакуумметра p вак = 60 кПа, избыточное давление p 1 = 1 МПа, высота H = 3 м, диаметры поршней D = 20 мм и d = 15 мм, ρ = 1000 кг/м 3 .

Построить график F = f (D ), если D изменяется от 20 до 160 мм.

Задача 1.3 2

Система из двух поршней, соединенных штоком, находится в равновесии. Определить силу F , сжимающую пружину. Жидкость, находящаяся между поршнями и в бачке, — масло с плотностью ρ = 870 кг/м 3 . Диаметры: D = 80 мм; d = 30 мм; высота Н = 1000 мм; избыточное давление р 0 = 10 кПа.

Задача 1.35

Определить нагрузку P на болты крышек A и Б гидравлического цилиндра диаметром D = 160 мм, если к плунжеру диаметром d = 120 мм приложена сила F = 20 кН.

Построить график зависимости P = f (d ), если d изменяется от 120 до 50 мм.

Задача 1.37

На рисунке представлена конструктивная схема гидрозамка, проходное сечение которого открывается при подаче в полость А управляющего потока жидкости с давлением p y . Определить, при каком минимальном значении p y толкатель поршня 1 сможет открыть шариковый клапан, если известно: предварительное усилие пружины 2 F = 50 H; D = 25 мм, d = 15 мм, p 1 = 0,5 МПа, p 2 = 0,2 МПа. Силами трения пренебречь.

Задача 1.38

Определить манометрическое давление p м, если усилие на поршень P = 100 кгс; h 1 = 30 см; h 2 = 60 см; диаметры поршней d 1 = 100 мм; d 2 = 400 мм; d 3 = 200 мм; ρ м /ρ в = 0,9. Определить p м.

Задача 1.41

Определить минимальное значение силы F , приложенной к штоку, под действием которой начнется движение поршня диаметром D = 80 мм, если сила пружины, прижимающая клапан к седлу, равна F 0 = 100 H, а давление жидкости p 2 = 0,2 МПа. Диаметр входного отверстия клапана (седла) d 1 = 10 мм. Диаметр штока d 2 = 40 мм, давление жидкости в штоковой полости гидроцилиндра p 1 = 1,0 МПа.

Задача 1.42

Определить величину предварительного поджатия пружины дифференциального предохранительного клапана (мм), обеспечивающую начало открытия клапана при p н = 0,8 МПа. Диаметры клапана: D = 24 мм, d = 18 мм; жесткость пружины с = 6 Н/мм. Давление справа от большего и слева от малого поршней – атмосферное.

Задача 1.44

В гидродомкрате с ручным приводом (рис. 27) на конце рычага 2 приложено усилие N = 150 Н. Диаметры напорного 1 и подъемного 4 плунжеров соответственно равны: d = 10 мм и D = 110 мм. Малое плечо рычага с = 25 мм.

С учетом общего к. п. д. гидродомкрата η = 0,82 определить длину l рычага 2 , достаточную для подъема груза 3 весом 225 кН.

Построить график зависимости l = f (d ), если d изменяется от 10 до 50 мм.

Задача 1. 4 5

Определить высоту h столба воды в пьезометрической трубке. Столб воды уравновешивает полный поршень с D = 0,6 м и d = 0,2 м, имеющий высоту H = 0,2 м. Собственным весом поршня и трением в уплотнении пренебречь.

Построить график h = f (D ), если диаметр D изменяется от 0,6 до 1 м.

Задача 1.51

Определить диаметр поршня = 80,0 кг; глубины воды в цилиндрах H = 20 см, h = 10 см.

Построить зависимость P = f (D ), если P = (20…80) кг.

Задача 1.81

Определить показание двухжидкостного манометра h 2 , если давление на свободной поверхности в баке p 0 абс = 147,15 кПа, глубина воды в баке H = 1,5 м, расстояние до ртути h 1 = 0,5 м, ρ рт /ρ в = 13,6.

Задача 2.33

Воздух засасывается двигателем из атмосферы, проходит через воздухоочиститель и затем по трубе диаметром d 1 = 50 мм подается к карбюратору. Плотность воздуха ρ = 1,28 кг/м 3 . Определить разрежение в горловине диффузора диаметром d 2 = 25 мм (сечение 2–2) при расходе воздуха Q = 0,05 м 3 /с. Принять следующие коэффициенты сопротивления: воздухоочистителя ζ 1 = 5; колена ζ 2 = 1; воздушной заслонки ζ 3 = 0,5 (отнесены к скорости в трубе); сопла ζ 4 = 0,05 (отнесен к скорости в горловине диффузора).

Задача 18

Для взвешивания тяжелых грузов 3 массой от 20 до 60 т применяют гидродинамометр (рис. 7). Поршень 1 диаметром D = 300 мм, шток 2 диаметром d = 50 мм.

Пренебрегая весом поршня и штока, построить график показаний давления р манометром 4 в зависимости от массы m груза 3.

Задача 23

На рис. 12 показана схема гидроклапана с золотником диаметром d = 20 мм.

Пренебрегая трением в гидроклапане и весом золотника 1, определить минимальное усилие, которое должна развивать сжатая пружина 2 для уравновешивания в нижней полости А давления масла р = 10 МПа.

Построить график зависимости усилия пружины от диаметра d , если d изменяется в пределах от 20 до 40 мм.

Задача 25

На рис. 14 показана схема гидрораспределителя с плоским клапаном 2 диаметром d = 20 мм. В напорной полости В гидрораспределителя действует давление масла p = 5 МПа.

Пренебрегая противодавлением в полости А гидрораспределителя и усилием слабой пружины 3, определить длину l плеча рычага 1, достаточную, чтобы открыть плоский клапан 2 приложенный к концу рычага силой F = 50 Н, если длина малого плеча a = 20 мм.

Построить график зависимости F = f (l ).

Задача 1.210

На рис. 10 показана схема плунжерного реле давления, в котором при перемещении плунжера 3 влево поднимается штырь 2, переключающий электрические контакты 4. Коэффициент жесткости пружины 1 С = 50,26 кН/м. Реле давления срабатывает, т.е. переключает электрические контакты 4 при осевом прогибе пружины 1, равном 10 мм.

Пренебрегая трением в реле давления, определить диаметр d плунжера, если реле давления должно срабатывать при давлении масла в полости А (при выходе) р = 10 МПа.

Задача I .27

Гидравлический мультипликатор (устройство для повышения давления) получает от насоса воду под избыточным давлением p 1 = 0,5 МПа. При этом заполненный водой подвижный цилиндр А с внешним диаметром D = 200 мм скользит по неподвижной скалке С , имеющей диаметр d = 50 мм, создавая на выходе из мультипликатор давление p 2 .

Определить давление p 2 , принимая силу трения в сальниках равной 10% от силы, развиваемой на цилиндре давлением p 1 , и пренебрегая давлением в линии обратного хода.

Масса подвижных частей мультипликатора m = 204 кг.

Построить график зависимости p 2 = f (D ), если D изменяется в пределах от 200 до 500 мм, m , d , p 1 считать постоянными.

Задачи можно купить или заказать новые по e-mail (skype)

Если толщина стенок цилиндра мала по сравнению с радиусами и , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид

т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).

Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р , распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.

Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.

Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.

Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно и , радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим и , толщину стенки назовем t.

По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут и . Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.

Усилия (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab , равную

Рис.2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара

Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу

Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.

Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.

Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О . Радиус соответствующего параллельного круга будет х .

Рис.3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.

Каждая пара усилий , действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс , равную

сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна ; она будет уравновешивать давление жидкости на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда .

Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти , х и для каждого значения у , и стало быть, найти , а из уравнения Лапласа и

Например, для конического резервуара с углом при вершине , наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h , будем иметь.

В инженерной практике широкое применение находят такие конструкции, как цистерны, водонапорные резервуары, газгольдеры, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двигателей и т.д. Все эти конструкции с точки зрения их расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонкостенным сосудам (оболочкам) (Рис.13.1,а).

Характерной особенностью большинства тонкостенных сосудов является то, что по форме они представляют тела вращения, т.е. их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой вокруг осиО -О . Сечение сосуда плоскостью, содержащей ось О -О , называется меридиональным сечением , а сечения, перпендикулярные к меридиональным сечениям, называются окружными . Окружные сечения, как правило, имеют вид конуса. Показанная на рис 13.1б нижняя часть сосуда отделена от верхней окружным сечением. Поверхность, делящая толщину стенок сосуда пополам, называется срединной поверхностью . Считается, что оболочка является тонкостенной, если отношение наименьшего главного радиуса кривизны в данной точке поверхности к толщине стенки оболочки превышает число 10
.

Рассмотрим общий случай действия на оболочку какой-либо осесимметричной нагрузки, т.е. такой нагрузки, которая не меняется в окружном направлении и может меняться лишь вдоль меридиана. Выделим из тела оболочки двумя окружными и двумя меридиональными сечениями элемент (Рис.13.1,а). Элемент испытывает растяжение во взаимно перпендикулярных направлениях и искривляется. Двустороннему растяжению элемента соответствует равномерное распределение нормальных напряжений по толщине стенки и возникновение в стенке оболочки нормальных усилий. Изменение кривизны элемента предполагает наличие в стенке оболочки изгибающих моментов. При изгибе в стенке балки возникают нормальные напряжения, меняющиеся по толщине стенки.

При действии осесимметричной нагрузки влиянием изгибающих моментов можно пренебречь, так как преобладающее значение имеют нормальные силы. Это имеет место тогда, когда форма стенок оболочки и нагрузка на нее таковы, что возможно равновесие между внешними и внутренними усилиями без появления изгибающих моментов. Теория расчета оболочек, построенная на предположении, что нормальные напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует, называется безмоментной теорией оболочек . Безмоментная теория хорошо работает, если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами. Кроме того, эта теория дает более точные результаты, чем меньше толщина стенки оболочки, т.е. чем ближе к истине предположение о равномерном распределении напряжений по толщине стенки.

При наличии сосредоточенных сил и моментов, резких переходов и защемлений сильно усложняется решение задачи. В местах крепления оболочки и в местах резких изменений формы возникают повышенные напряжения, обусловленные влиянием изгибающих моментов. В этом случае применяется так называемая моментная теория расчета оболочек . Следует отметить, что вопросы общей теории оболочек выходят далеко за рамки сопротивления материалов и изучается в специальных разделах строительной механики. В настоящем пособии при расчете тонкостенных сосудов рассматривается безмоментная теория для случаев, когда задача определения напряжений, действующих в меридиональном и окружном сечениях, оказывается статически определимой.

13.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории. Вывод уравнения Лапласа

Рассмотрим осесимметричную тонкостенную оболочку, испытывающую внутреннее давление от веса жидкости (Рис.13.1,а). Двумя меридиональными и двумя окружными сечениями выделим из стенки оболочки бесконечно малый элемент и рассмотрим его равновесие (Рис.13.2).

В меридиональных и окружных сечениях касательные напряжения отсутствуют ввиду симметрии нагрузки и осутствия взаимных сдвигов сечений. Следовательно, на выделенный элемент будут действовать только главные нормальные напряжения: меридиональное напряжение
иокружное напряжение . На основании безмоментной теории будем считать, что по толщине стенки напряжения
ираспределены равномерно. Кроме того, все размеры оболочки будем относить к срединной поверхности ее стенок.

Срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность двоякой кривизны. Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой точки обозначим
, радиус кривизны срединной поверхности в окружном направлении обозначим. По граням элемента действуют силы
и
. На внутреннюю поверхность выделенного элемента действует давление жидкости, равнодействующая которого равна
. Спроектируем приведенные выше силы на нормаль
к поверхности:

Изобразим проекцию элемента на меридиональную плоскость (Рис.13.3) и на основании этого рисунка запишем в выражении (а) первое слагаемое. Второе слагаемое записывается по аналогии.

Заменяя в (а) синус его аргументом ввиду малости угла и разделив все члены уравнения (а) на
, получим:

(б).

Учитывая, что кривизны меридионального и окружного сечений элемента равны соответственно
и
, и подставляя эти выражения в (б) находим:

. (13.1)

Выражение (13.1) представляет собой уравнения Лапласа, названного так в честь французского ученого, который получил его в начале XIXвека при изучении поверхностного натяжения в жидкостях.

В уравнение (13.1) входят два неизвестных напряжения и
. Меридиональное напряжение
найдем, составив уравнение равновесия на ось
сил, действующих на отсеченную часть оболочки (Рис.12.1,б). Площадь окружного сечения стенок оболочки посчитаем по формуле
. Напряжения
ввиду симметрии самой оболочки и нагрузки относительнго оси
распределены по площади равномерно. Следовательно,

, (13.2)

где вес части сосуда и жидкости, лежащих ниже рассматриваемого сечения;давление жидкости, по закону Паскаля одинаковое во всех направлениях и равное, гдеглубина рассматриваемого сечения, авес единицы объема жидкости. Если жидкость хранится в сосуде под некоторым избыточным в сравнении с атмосферным давлением, то в этом случае
.

Теперь, зная напряжение
из уравнения Лапласа (13.1) можно найти напряжение.

При решении практических задач ввиду того, что оболочка тонкая, можно вместо радиусов срединной поверхности
иподставлять радиусы наружной и внутренней поверхностей.

Как уже отмечалось окружные и меридиональные напряжения и
являются главными напряжениями. Что касается третьего главного напряжения, направление которого нормально к поверхности сосуда, то на одной из поверхностей оболочки (наружной или внутреннейв зависимости от того, с какой стороны действует давление на оболочку) оно равно, а на противоположной – нулю. В тонкостенных оболочках напряженияи
всегда значительно больше. Это означает, что величиной третьего главного напряжения можно пренебречь по сравнению си
, т.е. считать его равным нулю.

Таким образом, будем считать, что материал оболочки находится в плоском напряженном состоянии. В этом случае для оценки прочности в зависимости от состояния материала следует пользоваться соответствующей теорией прочности. Например, применив четвертую (энергетическую) теорию, условие прочности запишем в виде:

Рассмотрим несколько примеров расчета безмоментнтых оболочек.

Пример 13.1. Сферический сосуд находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.4). Определить напряжения действущие в стенке сосуда и оценить прочность сосуда с использованием третьей теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебрегаем.

1. Ввиду круговой симметрии оболочки и осесимметричности нагрузки напряжения и
одинаковы во всех точках оболочки. Полагая в (13.1)
,
, а
, получаем:

. (13.4)

2. Выполняем проверку по третьей теории прочности:

.

Учитывая, что
,
,
, условие прочности принимае вид:

. (13.5)

Пример 13.2. Цилиндрическая оболочка находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.5). Определить окружные и меридиональные напряжения, действующие в стенке сосуда, и оценить его прочность с использованием четвертой теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебречь.

1. Меридианами в цилиндрической части оболочки являются образующие, для которых
. Из уравнения Лапласа (13.1) находим окружное напряжение:

. (13.6)

2. По формуле (13.2) находим меридиональное напряжение, полагая
и
:

. (13.7)

3. Для оценки прочности принимаем:
;
;
. Условие прочности по четвертой теории имеет вид (13.3). Подставляя в это условие выражения для окружных и меридиональных напряжений (а) и (б), получаем

Пример 12.3. Цилиндрический резервуар с коническим днищем находится под действием веса жидкости (Рис.13.6,б). Установить законы изменения окружных и меридиональных напряжений в пределах конической и цилиндрической части резервуара, найти максимальные напряженияи
и построить эпюры распределения напряжений по высоте резервуара. Весом стенок резервуара пренебречь.

1. Находим давление жидкости на глубине
:

. (а)

2. Определяем окружные напряжения из уравнения Лапласа, учитывая, что радиус кривизны меридианов (образующих)
:

. (б)

Для конической части оболочки

;
. (в)

Подставляя (в) в (б) получим закон изменения окружных напряжений в пределах конической части резервуара:

. (13.9)

Для цилиндрической части, где
закон распределения окружных напряжений имеет вид:

. (13.10)

Эпюра показана на рис.13.6,а. Для конической части эта эпюра параболическая. Ее математический максимум имеет место в середине общей высоты при
. При
он имеет условное значение, при
максимум напряжений попадает в пределы конической части и имеет реальное значение:

. (13.11)

3. Определяем меридиональные напряжения
. Для конической части вес жидкости в объме конуса высотойравен:

. (г)

Подставляя (а), (в) и (г) в формулу для меридиональных напряжений (13.2) , получим:

. (13.12)

Эпюра
показана на рис.13.6,в. Максимум эпюры
, очерченной для конической части также по параболе, имеет место при
. Реальное значение он имеет при
, когда попадает в пределы конической части. Максимальные меридиональные напряжения при этом равны:

. (13.13)

В цилиндрической части напряжение
по высоте не меняется и равно напряжению у верхней кромки в месте подвеса резервуара:

. (13.14)

В местах, где поверхность резервуара имеет резкий излом, как, например, в месте перехода от цилиндрической части к конической (Рис.13.7) (Рис.13.5), радиальная составляющая меридиональных напряжений
не уравновешена (Рис.13.7).

Эта составляющая по периметру кольца создает радиальную распределенную нагрузку интенсивностью
, стремящуюся согнуть кромки цилиндрической оболочки внутрь. Для устранения этого изгиба ставится ребро жесткости (распорное кольцо) в виде уголка или швеллера, опоясывающего оболочку в месте перелома. Это кольцо воспринимает радиальную нагрузку(Рис.13.8,а).

Вырежем двумя бесконечно близко расположенными радиальными сечениями из распорного кольца его часть (Рис.13.8,б) и определим внутренние усилия, которые в нем возникают. В силу симметрии самого распорного кольца и нагрузки, распределенной по его контуру, поперечная сила и изгибающий момент в кольце не возникают. Остается только продольная сила
. Найдем ее.

Составим сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент распорного кольца, на ось :

. (а)

Заменим синус угла углом ввиду его малости
и подставим в (а). Получим:

,

(13.15)

Таким образом, распорное кольцо работает на сжатие. Условие прочности принимает вид:

, (13.16)

где радиус срединной линии кольца;площадь поперечного сечения кольца.

Иногда вместо распорного кольца создают местное утолщение оболочки, загибая края днища резервуара внутрь обечайки.

Если оболочка испытывает внешнее давление, то меридиональные напряжения будут сжимающими и радиальное усилие станет отрицательным, т.е. направленным наружу. Тогда кольцо жесткости будет работать не на сжатие, а на растяжение. При этом условие прочности (13.16) останется таким же.

Следует отметить, что постановка кольца жесткости полностью не устраняет изгиба стенок оболочки, так как кольцо жесткости стесняет расширение колец оболочки, примыкающих к ребру. В результате образующие оболочки вблизи кольца жесткости искривляются. Явление это носит название краевого эффекта. Оно может привести к значительному местному возрастанию напряжений в стенке оболочки. Общая теория учета краевого эффекта рассматривается в специальных курсах с помощью моментной теории расчета оболочек.