Напряженность поля заряженной плоскости равна нулю

(Примеры решения задач)

Поток электрического поля

Пример 2.1.

Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найдите поток вектора напряженности через круг радиуса R , плоскость которого перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды, и проходит через его середину.

Решение.

Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического полячерез бесконечно малую кольцевую зону круга радиусаи ширины

(см.рис)

. В записи потока учтено, что векторперпендикулярен поверхности круга. Выразим напряженность электрического поля через, используя подобие треугольников показанных на рисунке:

,

.

Вычисление потока сводится к взятию интеграла:

.

Электрическое поле заряженной сферы

Пример 2.2.

По поверхности сферы радиуса однородно распределен заряд. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне сферы и внутри нее. Полученный результат представьте на графике

, гдеr , проведенную из центра сферы.

Решение.

Электрическое поле, порождаемое сферически-симметричным распределением заряда сферы, в любой точке пространства направлено вдоль луча от центра сферы и в равноудаленных точках имеет одинаковую величину, т.е.

. При таком свойстве симметрии поля в качестве замкнутой гауссовой поверхности возьмем концентрическую сферу радиуса. Поток сквозь выбранную поверхность равен

. Согласно теореме Гаусса, он определяется зарядом внутри гауссовой поверхности. При

заряд внутри поверхности равен заряду сферы, а при

равен нулю. Поэтому:

Знак заряда определяет знак проекции, а следовательно и направление самого вектора. Он направлен от центра заряженной сферы (

) или к центру (

). Внутри однородно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. График зависимости проекции вектора напряженностина ось, проведенную из центра сферы, показан на Рис. 1 в предположении

.

Электрическое поле заряженного шара

Пример 2.3.

По объему шара однородно распределен заряд. Пренебрегая влиянием вещества шара, определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне шара и внутри него. Полученный результат представьте на графике

, гдепроекция вектора напряженности на осьr , проведенную из центра шара.

Решение .

Поле такой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в качестве гауссовой замкнутой поверхности следует взять концентрическую сферу радиуса .

1) Найдем напряженность электрического поля внутри шара

. Векторы напряженностинаправлены по радиусам выбранной сферы, а модули векторовзависят только от расстояниядо центра сферы, то есть, одинаковы по поверхности сферы. Поэтому поток поля векторачерез выбранную сферуможно записать

(Рис.2а).

Заряд, охватываемый сферой , равен

, где

- объемная плотность заряда. Согласно теореме Гаусса

. В результате напряженность поля внутри однородно заряженного шара равна:

,

т.е. поле внутри шара возрастает по линейному закону от нуля в центре до значения

на его поверхности.

2) Найдем напряженность электрического поля вне шара

. Свойство симметрии поля остается неизменным. Поэтому гауссову поверхность представим концентрической сферойрадиуса

(Рис.2а). Согласно теореме Гаусса имеем:

, гдезаряд шара. Для величины напряженности поля получим:

.

Поле вне однородно заряженного шара убывает обратно пропорционально.

Объединяя полученные зависимости, запишем:

.

График зависимости проекции вектора напряженности на ось, проведенную из центра шара, представлен на Рис. 2б.

Пример 2.4.

Шар заряжен однородно с объемной плотностью . В шаре сделана сферическая полость, положение центра которой характеризуется радиусом-вектором(этот вектор проведен из центра шара в центр полости). Найти полев полости.

Решение .

Представим, что имеем два шара с центрами в точках и, заряженные однородно с объемной плотностью

первый и

второй. Выберем произвольную точку, которая принадлежит обоим шарам. Воспользовавшись решениемпримера 2.3 ., для первого шара в точкеполе равно:

(

).

Для второго шара в точке поле равно:

.

Чтобы определить напряженность поля в полости наложим распределение зарядов двух шаров, как показано на Рис.3. Тогда по принципу суперпозиции найдем поле в полости:

.

Заметим, что поле внутри полости однородно заряженного шара оказывается однородным, а его величина и направление определяется вектором смещения .

Пример 2.5.

Шар радиуса имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстоянияrдо его центра как

, где- положительная постоянная. Пренебрегая влиянием вещества шара, найдите модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функциюr.

Решение .

Поле этой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в качестве замкнутой гауссовой поверхности выберем сферу, концентрическую с шаром.

1) Для нахождения поля вне шара радиус сферы

, согласно теореме Гаусса:

,

где полный заряд шара. Чтобы найти, мысленно представим шар в виде набора бесконечно тонких шаровых слоев радиусаширины

(Рис.4а). Объем шарового слоя

, тогда

, а

.Интегрируя, получим:

Подставив полученное выражение для в правую часть соотношения для потока, получим напряженность поля вне шара:

.

2) Найдем напряженность электрического поля внутри шара. В качестве замкнутой гауссовой поверхности снова выберем сферу, концентрическую с шаром, радиус которой

(рис.4б).

Согласно теореме Гаусса

,

где заряд внутри выбранной сферы. Величинунайдем также как и в пункте 1), подставив соответствующие пределы интегрирования:

.

Подставив величину заряда в соотношение для потока, найдем:

.

График зависимости проекции вектора на ось, проведенную из центра шара, показан на Рис.4в, из которого видно, что напряженность достигает максимума на расстоянии

от центра шара.

Отсюда сила, действующая на ряд q со стороны электрического поля, равна:

Направление вектора Е совпа­дает с направлением силы, действую­щей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный за­ряд.

Согласно формуле (1) напря­женность поля в единицах СИ можно выразить в ньютонах на кулон (И/Кл).

Напряженность поля точечного заряда. Найдем напряженность элек­трического поля, создаваемого то­чечным зарядом q 0 . По закону Ку­лона этот заряд будет действовать на другой заряд с силой, равной:

Модуль напряженности поля точечного заряда q 0 на расстоянии rот него равен:

Вектор напряженности в любой точке электрического поля направ­лен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис1).

Принцип суперпозиции полей. Если на тело действует несколько сил, то согласно законам механики результирующая сила равна - геомет­рической сумме сил: .

На электрические заряды дей­ствуют силы со стороны электри­ческого поля. Если при наложении полей от нескольких зарядов эти по­ля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Опыт показывает, что именно так и про­исходит на самом деле. Это озна­чает, что напряженности полей скла­дываются геометрически.

В этом состоит принцип супер­позиции полей, который форму­лируется так: если в данной точке пространства различные заряжен­ные частицы создают электрические поля, напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна:

Благодаря принципу суперпози­ции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать вы­ражение (3) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 2 показано, как определяется напряженность поля Е в точке А, созданная двумя точечными заря­дами: q 1 и q 2

Введение электрического поля по­зволяет задачу вычисления сил взаимодействия заряженных частиц разбить на две части. Сначала вы­числяют напряженность поля, соз­данного зарядами, а затем по из­вестной напряженности определяют силы. Такое разделение задачи на части обычно облегчает расчеты сил.

Рис.1 Рис.2
СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ЗАРЯЖЕННОГО ШАРА.

Электрическое поле не действует на органы чувств. Его мы не видим. Тем не менее, распределение поля в пространстве можно сделать видимым. Делается это довольно просто.

Мы получим некоторое представ­ление о распределении поля, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках простран­ства (рис. 1). Картина будет более наглядной, если нарисовать непре­рывные линии, касательные к кото­рым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектора­ми напряженности. Эти линии назы­вают силовыми линиями электриче­ского поля или линиями напряжен­ности (рис. 2).

Не следует напряженности думать, что линии - это существующие в действительности образования вро­де растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей. Линии напряженности помогают лишь наглядно представить распре­деление поля в пространстве и не более реальны, чем меридианы и па­раллели на земном шаре.

Однако силовые линии можно сделать видимыми. Если продолго­ватые кристаллики изолятора (на­пример, хинина) хорошо переме­шать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линии напряжен­ности.

На рисунках приведены примеры линий напряженности: положитель­но заряженного шарика (рис. 3); двух разноименно заряженных ша­риков (рис. 4); двух одноименно заряженных шариков (рис. 5); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 5). Последний пример осо­бенно важен. На рисунке 6 видно, что в пространстве между пластина­ми ближе к середине силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряжен­ность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной об­ласти пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность по­ля внутри этой области меняется незначительно.

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и окан­чиваются на отрицательных. Си­ловые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение озна­чало бы отсутствие определенного направления напряженности элек­трического поля в данной точке. Они начинаются, или оканчиваются на заряженных телах, а затем рас­ходятся в разные стороны (см. рис. 3). Поэтому густота силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля также больше.

Поле заряженного шара. Рассмотрим электрическое поле заряженного проводящего шара радиу­сом R. Заряд q равномерно распре­делен по поверхности шара. Сило­вые линии электрического поля, как вытекает из соображений сим­метрии, направлены вдоль продол­жений радиусов шара (рис. 7). Обратите внимание! Силовые ли­нии вне шара распределены в про­странстве точно так же, как и си­ловые линии точечного заряда (рис. 8). Если совпадают кар­тины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напря­женности полей. Поэтому на рас­стоянии r≥R от центра шара на­пряженность поля определяется той же формулой

что и напряженность поля точечного заряда, по­мещенного в центре сферы:

Внутри проводящего шара (rВ этом мы скоро убедимся.

Картина силовых линий наглядно показывает, как направлена напря­женность электрического поля в раз­личных точках пространства. По из­менению густоты линий можно су­дить об изменении модуля напря­женности поля при переходе от точ­ки к точке.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Рис.4 Рис.5 Рис.6

Рис.7 Рис.8
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Что происходит с телами, если их зарядить или поместить в элек­трическое поле? Проще всего отве­тить на этот вопрос в случае про­водника. В проводниках есть сво­бодные заряды.

Свободные заряды, В проводни­ках, к которым в первую очередь относятся металлы, имеются заря­женные частицы, способные пере­мещаться внутри проводника под влиянием электрического поля. По этой причине заряды этих час­тиц называют свободными заря­дами.

В металлах носителями свобод­ных зарядов являются электроны. При образовании металла его ней­тральные атомы начинают взаимо­действовать друг с другом. Благо­даря этому взаимодействию электро­ны внешних оболочек атомов пол­ностью утрачивают связи со своими атомами и становятся «собствен­ностью» всего проводника в целом. В результате образовавшиеся поло­жительно заряженные ионы оказы­ваются окруженными отрицательно заряженным «газом», образованным коллективизированными электрона­ми (рис. 1). Свободные электроны участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по куску метал­ла в любом направлении.

Электростатическое поле внутри проводника. Наличие в проводнике свободных зарядов приводит к тому, что внутри проводника электроста­тического поля нет. Если бы напря­женность электрического поля была отлична от нуля, то поле приво­дило бы свободные заряды в упоря­доченное движение, т. е. в провод­нике существовал бы электрический ток. Утверждение об отсутствии элек­тростатического поля внутри про­водника справедливо как для заря­женного проводника, так и для не­заряженного, помещенного во внеш­нее электростатическое поле. На примере незаряженной пластины (проводника), внесенной в однород­ное поле (рис. 2), выясним, в ре­зультате какого процесса напряжен­ность электростатического поля внут­ри проводника оказывается равной нулю.

Под действием электрического поля электроны пластины начинают перемещаться справа налево. В пер­вый момент (при внесении пластины в поле) возникает электрический ток. Левая часть пластины заря­жается отрицательно, а правая - положительно. В этом состоит явле­ние электростатической индукции. (Если разделить пластину пополам вдоль линии MN, то обе половины окажутся заряженными.) Появив­шиеся заряды - создают свое поле (линии напряженности этого поля показаны на рисунке 3 пунктирны­ми прямыми), которое накладывает­ся на внешнее поле и компенси­рует его. За ничтожно малое время заряды перераспределяются так, что напряженность результирующего по­ля внутри пластины становится рав­ной нулю и движение зарядов прекращается. Иначе в проводнике все время протекал бы ток, и выде­лялась теплота. Но согласно закону сохранения энергии это невозможно.

Итак, электростатического поля внутри проводника нет. На этом факте основана так называемая электростатическая защита. Чтобы защитить чувствительные к электри­ческому полю приборы, их заклю­чают в металлические ящики.

Силовые линии электростатиче­ского поля вне проводника в не­посредственной близости к его по­верхности перпендикулярны поверх­ности. Если бы это было не так, то имелась бы составляющая напря­женности поля вдоль поверхности проводника и по поверхности про­текал бы ток.

Электрический заряд проводни­ков . Внутри проводника при рав­новесии зарядов не только напряжен­ность поля равна нулю, равен нулю и заряд. Весь статический заряд проводника сосредоточен на его по­верхности. В самом деле, если бы внутри проводника имелся бы заряд, то вблизи заряда имелось бы и поле. Но электростатического поля внутри проводника нет. Следовательно, за­ряды в проводнике могут распо­лагаться только на его поверхности. Этот вывод справедлив как для не­заряженных проводников в электри­ческом поле, так и для заряжен­ных. Отсутствие заряда внутри про­водника можно обнаружить с по­мощью простых опытов, например опыта с цилиндром из проволочной сетки (рис. 4). На поверхности цилиндра наклеены легкие листочки станиоля. На проводящем подвиж­ном стержне, проходящем сквозь цилиндр, укреплены еще два листоч­ка. Если сообщить цилиндру заряд, например, от электростатической машины, листочки отклонятся на некоторый угол, так как перетекший на них заряд будет отталкиваться от одноименного заряда цилиндра или соседнего листочка. Но если листочки на стержне ввести внутрь цилиндра, то они не отклонятся, так как заряд на них равен нулю.

При равновесии зарядов электрическое поле и электрический заряд внутри проводника равны нулю. Весь заряд сосредоточен на поверхности проводника, а линии напряженности электрического поля в любой точке поверхности проводника перпенди­кулярны этой поверхности.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E n - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=E n =const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

. Т. к. площадь сферы не равна нулю, то Е 1 =0 (во всех точках области I) – внутри проводника зарядов нет и напряженность поля равна нулю.

В области II R£r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S 1 радиусом r 1 (0 - напряженность поля внутри шара увеличивается прямо пропорционально расстоянию до центра шара.

В области II R £ r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне шара рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

February 1, 2009, 2:52 am

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

(13.14)

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов и , равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.

Таким образом,

(13.15)

Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0.

February 1, 2009, 2:51 am

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре (рис. 13.6). Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы , следовательно

т.к.
Тогда поток напряженности будет равен

Используя формулу напряжённости, находим

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

February 1, 2009, 2:50 am

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N E .

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

(13.4)

Так как , то

(13.5)

где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку законы электростатики и тяготения совпадают, то то же доказательство может быть проведено и для поля тяготения.)

Зададим вопрос: каково электрическое поле в точке где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то законно допустить, что всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концентрическую со сферой зарядов и проходящую через точку (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен

Фигура 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля однородно заряженного шара.

1 - распределение заряда ; 2 - гауссова поверхность .

Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному заряду сферы (деленному на ):

а это как раз та формула, которая получилась бы для точечного заряда . Мы решили проблему Ньютона проще, без интеграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось затратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаусса, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту теорему, то она практически окупится. Все дело в привычке.